PT Đường Thẳng & Mặt Phẳng

Cheatsheet Content

### Phương Trình Mặt Phẳng #### 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng - Một vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(P)$. - Nếu $\vec{n}$ là VTPT thì $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là VTPT. #### 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng - Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và có VTPT $\vec{n} = (A, B, C)$ có phương trình: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Tương đương: $Ax + By + Cz + D = 0$, với $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$. - **Lưu ý:** $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$. #### 3. Các trường hợp đặc biệt của mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ - $D=0$: Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O(0,0,0)$. - $A=0$: Mặt phẳng song song hoặc chứa trục $Ox$. - $B=0$: Mặt phẳng song song hoặc chứa trục $Oy$. - $C=0$: Mặt phẳng song song hoặc chứa trục $Oz$. - $A=B=0$: Mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. - $A=C=0$: Mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oxz)$. - $B=C=0$: Mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng $(Oyz)$. #### 4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn - Mặt phẳng $(P)$ cắt các trục tọa độ tại $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$, $C(0,0,c)$ (với $a,b,c \neq 0$) có phương trình: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$ #### 5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng - Cho $(P_1): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(P_2): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$. - $(P_1)$ song song $(P_2)$: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$ - $(P_1)$ trùng $(P_2)$: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$ - $(P_1)$ cắt $(P_2)$: Các tỉ số trên không đồng thời bằng nhau. - $(P_1)$ vuông góc $(P_2)$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$. #### 6. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ $M_0(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là: $$d(M_0, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ #### 7. Góc giữa hai mặt phẳng - Góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ được xác định bởi công thức: $$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$ Với $0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$. ### Phương Trình Đường Thẳng #### 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Một vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $d$. - Nếu $\vec{u}$ là VTCP thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là VTCP. #### 2. Phương trình tham số của đường thẳng - Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và có VTCP $\vec{u} = (a, b, c)$ có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ #### 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng - Nếu $a, b, c \neq 0$, phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là: $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$ - **Lưu ý:** Nếu một trong các $a, b, c$ bằng 0, không dùng PT chính tắc. Ví dụ, nếu $a=0$: $$\begin{cases} x = x_0 \\ \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \end{cases}$$ #### 4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Cho $d_1$ đi qua $M_1$ có VTCP $\vec{u_1}$ và $d_2$ đi qua $M_2$ có VTCP $\vec{u_2}$. - Xét tích hỗn tạp $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2}$. - $d_1, d_2$ chéo nhau: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} \neq 0$. - $d_1, d_2$ đồng phẳng: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0$. - Song song: $\vec{u_1} = k\vec{u_2}$ và $M_1 \notin d_2$. - Trùng nhau: $\vec{u_1} = k\vec{u_2}$ và $M_1 \in d_2$. - Cắt nhau: $\vec{u_1} \neq k\vec{u_2}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0$. #### 5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng - Cho đường thẳng $d$ đi qua $M_0(x_0, y_0, z_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a, b, c)$ và mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ có VTPT $\vec{n} = (A, B, C)$. - Thay $x, y, z$ từ PT tham số của $d$ vào PT của $(P)$, ta được phương trình $t$: $A(x_0 + at) + B(y_0 + bt) + C(z_0 + ct) + D = 0$ $\Leftrightarrow (Aa + Bb + Cc)t + (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) = 0$ (ký hiệu là $At + B = 0$) - Nếu $A \neq 0$: $d$ cắt $(P)$ tại 1 điểm. - Nếu $A = 0$ và $B \neq 0$: $d$ song song $(P)$ (vô nghiệm). - Nếu $A = 0$ và $B = 0$: $d$ nằm trong $(P)$ (vô số nghiệm). - **Điều kiện vectơ:** - $d \perp (P) \Leftrightarrow \vec{u}$ cùng phương với $\vec{n} \Leftrightarrow \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C}$. - $d // (P) \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{n} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc = 0$. - Nếu $M_0 \in (P)$ thì $d \subset (P)$. - Nếu $M_0 \notin (P)$ thì $d // (P)$. #### 6. Khoảng cách - **Khoảng cách từ điểm $M_1$ đến đường thẳng $d$**: $$d(M_1, d) = \frac{|[\vec{M_0M_1}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$$ Với $M_0$ là điểm bất kỳ trên $d$, $\vec{u}$ là VTCP của $d$. - **Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $d_1, d_2$**: $$d(d_1, d_2) = d(M_1, d_2) = \frac{|[\vec{M_1M_2}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$$ Với $M_1 \in d_1$, $M_2 \in d_2$, $\vec{u}$ là VTCP chung. - **Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1, d_2$**: $$d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|}$$ Với $M_1 \in d_1$, $M_2 \in d_2$, $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ là VTCP của $d_1, d_2$. #### 7. Góc - **Góc giữa hai đường thẳng $d_1, d_2$**: $$\cos\varphi = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$$ Với $0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$. - **Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$**: $$\sin\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$ Với $0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$.