মহাকর্ষ (Gravitation)

Cheatsheet Content

১. নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র (Newton's Law of Gravitation) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা সূত্র (Statement) মহাবিশ্বের যেকোনো দুটি বস্তু কণা তাদের সংযোগকারী সরলরেখা বরাবর পরস্পরকে আকর্ষণ করে। এই আকর্ষণ বল কণা দুটির ভরের গুণফলের সমানুপাতিক এবং তাদের দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক । গণিতিক রূপ $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$ $F$ = আকর্ষণ বল, $m_1, m_2$ = কণা দুটির ভর, $r$ = তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব। মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (G) সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (Universal Gravitational Constant) । এর মান বস্তুর প্রকৃতি, মাধ্যম বা উষ্ণতার উপর নির্ভর করে না। G-এর মান (SI) $$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$$ G-এর মাত্রা $$[M^{-1} L^3 T^{-2}]$$ ২. অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) এবং ভর ($M$) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) $$g = \frac{GM}{R^2}$$ পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, যেখানে $R$ হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং $M$ হল পৃথিবীর ভর। $g$-এর মান (পৃথিবীর পৃষ্ঠে) $$g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$$ এই মান স্থানভেদে সামান্য পরিবর্তন হয়। ভর ($M$) এবং ঘনত্ব ($\rho$) $$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$$ পৃথিবীর ভরকে তার ঘনত্ব ($\rho$) এবং আয়তনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। $g$-এর সঙ্গে $\rho$-এর সম্পর্ক $$g = \frac{4}{3} \pi G R \rho$$ ৩. $g$-এর পরিবর্তন (Variation of $g$) ফ্যাক্টর (Factor) সম্পর্ক/সূত্র ব্যাখ্যা উচ্চতার প্রভাব (Effect of Altitude) $$g_h = g \left(1 - \frac{2h}{R}\right)$$ পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায় $g$-এর মান। ($h \ll R$ হলে প্রযোজ্য)। উচ্চতা বাড়লে $g$ কমে। গভীরতার প্রভাব (Effect of Depth) $$g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$$ পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে $d$ গভীরতায় $g$-এর মান। গভীরতা বাড়লে $g$ কমে। পৃথিবীর কেন্দ্রে ($d=R$) $g_d = 0$ হয়। আকৃতির প্রভাব (Effect of Shape) মেরু অঞ্চলে ($g_p$) $g$-এর মান সর্বাধিক , এবং নিরক্ষীয় অঞ্চলে ($g_e$) $g$-এর মান সর্বনিম্ন হয়। ($g_p > g_e$) আবর্তনের প্রভাব (Effect of Rotation) অক্ষাংশ ($\lambda$) তে $g$-এর মান: $$g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$$ $\omega$ হল পৃথিবীর কৌণিক বেগ। আবর্তনের ফলে $g$ হ্রাস পায়। ৪. মহাকর্ষীয় বিভব ও স্থিতিশক্তি (Gravitational Potential & Potential Energy) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি ($U$) $$U = - G \frac{M m}{r}$$ $M$ ভরের কেন্দ্র থেকে $r$ দূরত্বে $m$ ভরের স্থিতিশক্তি। সর্বদা ঋণাত্মক হয়। মহাকর্ষীয় বিভব ($V$) $$V = - \frac{GM}{r}$$ $M$ ভরের কেন্দ্র থেকে $r$ দূরত্বে একক ভরের স্থিতিশক্তি। এটি স্কেলার রাশি। পৃথিবী পৃষ্ঠে বিভব $$V_{\text{পৃষ্ঠ}} = - \frac{GM}{R}$$ ৫. মুক্তি বেগ (Escape Velocity) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা সংজ্ঞা (Definition) সর্বনিম্ন যে বেগে কোনো বস্তুকে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা আর পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ ক্ষেত্রে ফিরে আসে না। গণিতিক রূপ $$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$ $G, M, R$ এর মান বসিয়ে পাই: $v_e = \sqrt{2gR}$ মান (পৃথিবীর জন্য) $$v_e \approx 11.2 \text{ km/s}$$ মুক্তি বেগ বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করে না। ৬. কেপলারের গ্রহ সংক্রান্ত সূত্রাবলী (Kepler's Laws of Planetary Motion) সূত্র সংজ্ঞা/বিবৃতি গণিতিক রূপ প্রথম সূত্র (Law of Orbits) প্রতিটি গ্রহ সূর্যকে একটি ফোকাসে রেখে উপবৃত্তাকার কক্ষপথে আবর্তন করে। (উপবৃত্তের সমীকরণ) দ্বিতীয় সূত্র (Law of Areas) গ্রহ ও সূর্যের সংযোগকারী সরলরেখা সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। অর্থাৎ, কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত হয় (Angular Momentum is conserved)। ক্ষেত্রফলীয় বেগ ($\frac{dA}{dt}$) ধ্রুবক । তৃতীয় সূত্র (Law of Periods) সূর্যের চারিদিকে গ্রহের আবর্তনকাল ($T$)-এর বর্গ, সূর্য থেকে তার গড় দূরত্ব ($a$)-এর ঘনফলের সমানুপাতিক। $$T^2 \propto a^3$$ ৭. কৃত্রিম উপগ্রহের গতি (Motion of Artificial Satellite) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা কক্ষীয় বেগ ($v_o$) $$v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ পৃথিবী থেকে $r$ দূরত্বে (পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায়, যেখানে $r = R+h$) উপগ্রহের জন্য প্রয়োজনীয় বেগ। কক্ষপথের নিকটবর্তী উপগ্রহের বেগ $$v_o \approx \sqrt{gR}$$ পৃথিবী পৃষ্ঠের খুব কাছে ($h \ll R$) থাকলে $v_o \approx 7.92 \text{ km/s}$। আবর্তনকাল ($T$) $$T = \frac{2\pi r}{v_o} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$ কক্ষপথে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে আসতে প্রয়োজনীয় সময়। শক্তি সংরক্ষণ (Energy Conservation) মুক্তি বেগের সাথে কক্ষীয় বেগের সম্পর্ক: $$v_e = \sqrt{2} \cdot v_o$$ ৮. কৃত্রিম উপগ্রহের শক্তি (Energy of an Artificial Satellite) শক্তির প্রকার (Type of Energy) সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা গতিশক্তি ($K$) $$K = \frac{1}{2} m v_o^2 = \frac{GMm}{2r}$$ গতিশক্তি সর্বদা ধনাত্মক। স্থিতিশক্তি ($U$) $$U = - \frac{GMm}{r}$$ স্থিতিশক্তি সর্বদা ঋণাত্মক। মোট শক্তি ($E$) $$E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r}$$ $$E = - \frac{GMm}{2r}$$ গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক $$E = - K = \frac{U}{2}$$ মোট শক্তি সর্বদা ঋণাত্মক ; এর অর্থ উপগ্রহটি পৃথিবীর সঙ্গে আবদ্ধ (Bound State)। কক্ষপথ থেকে মুক্ত করতে এই পরিমাণ ধনাত্মক শক্তি দরকার। ৯. ভূ-সমলয় বা ভূ-স্থির উপগ্রহ (Geosynchronous / Geostationary Satellite) ধারণা বৈশিষ্ট্য গুরুত্ব সংজ্ঞা যে উপগ্রহ পৃথিবীর আবর্তনকালের সমান সময়ে (প্রায় ২৪ ঘণ্টা) পৃথিবীকে একবার প্রদক্ষিণ করে এবং নিরক্ষীয় অঞ্চলের ওপর সর্বদা স্থির থাকে। যোগাযোগ (Communication) এবং আবহাওয়ার পূর্বাভাস। আবর্তনকাল ($T$) $$T = 24 \text{ ঘণ্টা}$$ কৌণিক বেগ ($\omega$) পৃথিবীর কৌণিক বেগের সমান। কক্ষপথের উচ্চতা ($h$) পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে প্রায় $35,786 \text{ km}$ । কক্ষপথের ব্যাসার্ধ ($r$) পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে প্রায় $42,164 \text{ km}$ । ১০. ওজনহীনতা (Weightlessness) অবস্থা কারণ ও ব্যাখ্যা সংজ্ঞা কোনো বস্তুর ওজনের অনুভূত মান শূন্য হলে, অর্থাৎ বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বলের প্রতিক্রিয়া বল (Normal Reaction) শূন্য হলে। উপগ্রহের অভ্যন্তরে উপগ্রহ এবং তার অভ্যন্তরের বস্তু উভয়েই একই অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g'$) নিয়ে পড়তে থাকে। আপাত ওজন শূন্য হয়, অর্থাৎ $R = m(g-g') = 0$। মুক্তভাবে পতনশীল বস্তু যখন কোনো বস্তু কেবল মহাকর্ষের প্রভাবে পড়ে ($a=g$), তখন সে ওজনহীনতা অনুভব করে। ১১. প্রক্ষেপণ এবং অভিকর্ষ (Projectile and Gravitation) ধারণা সূত্র/সমীকরণ (যখন অভিকর্ষজ ত্বরণ ধ্রুবক) উল্লম্ব গতি $$v = u + gt$$ অতিক্রান্ত দূরত্ব $$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$$ দূরত্বের সাথে বেগের সম্পর্ক $$v^2 = u^2 + 2gh$$ $g$-এর মান ভূপৃষ্ঠের কাছাকাছি দূরত্বে মহাকর্ষীয় বল প্রায় ধ্রুবক। ১২. মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র (Gravitational Field) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা সংজ্ঞা (Definition) কোনো বস্তুর চারপাশে যে অঞ্চল জুড়ে তার মহাকর্ষীয় প্রভাব অনুভূত হয়। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের প্রাবল্য ($I$) কোনো বিন্দুতে একক ভরের উপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বল। এটি একটি ভেক্টর রাশি এবং এর অভিমুখ বস্তুর কেন্দ্রের দিকে। সূত্র $$I = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r^2}$$ এর একক হলো $\text{N}/\text{kg}$ বা $\text{m}/\text{s}^2$ (যা অভিকর্ষজ ত্বরণের এককের সমান)। বিভব এবং প্রাবল্যের সম্পর্ক মহাকর্ষীয় প্রাবল্য হলো মহাকর্ষীয় বিভবের দূরত্বের সাপেক্ষে ঋণাত্মক নতিমাত্রা (Negative Gradient)। $$I = - \frac{dV}{dr}$$ ১৩. গোলীয় খোলকের মহাকর্ষীয় প্রভাব (Gravitational effect of Spherical Shell) অবস্থান মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($I$) মহাকর্ষীয় বিভব ($V$) বহিঃস্থ বিন্দু ($r > R$) $$I = \frac{GM}{r^2}$$ $$V = - \frac{GM}{r}$$ পৃষ্ঠে ($r = R$) $$I = \frac{GM}{R^2} = g$$ $$V = - \frac{GM}{R}$$ অভ্যন্তরীণ বিন্দু ($r $$I = 0$$ $$V = - \frac{GM}{R}$$ (ধ্রুবক) গুরুত্বপূর্ণ নোট: গোলীয় খোলকের ভেতরে কোনো বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য শূন্য হলেও, বিভব শূন্য হয় না। বিভবের মান পৃষ্ঠের মানের সমান থাকে। ১৪. পৃথিবী বা নিরেট গোলকের মহাকর্ষীয় প্রাবল্য (Gravitational Intensity for Solid Sphere) অবস্থান মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($I$) বহিঃস্থ বিন্দু ($r > R$) $$I = \frac{GM}{r^2}$$ পৃষ্ঠে ($r = R$) $$I = \frac{GM}{R^2} = g$$ অভ্যন্তরীণ বিন্দু ($r $$I = \frac{GMr}{R^3}$$ কেন্দ্রে ($r = 0$) $$I = 0$$ দ্রষ্টব্য: নিরেট গোলকের ক্ষেত্রে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব বাড়লে, প্রাবল্য প্রথমে বাড়ে (কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠ পর্যন্ত), তারপর কমতে শুরু করে। ১৫. কৃত্রিম উপগ্রহের সময়কাল ও উচ্চতা (Time Period and Altitude of Satellite) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা ন্যূনতম আবর্তনকাল ($T_{min}$) পৃথিবী পৃষ্ঠের খুব কাছে ঘূর্ণনরত উপগ্রহের জন্য। $$T_{min} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$ মান প্রায় ৮৪ মিনিট বা ১ ঘন্টা ২৪ মিনিট। উপগ্রহের উচ্চতা নির্ণয় যদি আবর্তনকাল ($T$) দেওয়া থাকে, তবে উচ্চতা ($h$) নির্ণয়ের জন্য: $$r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}$$ যেখানে $r = R+h$ ১৬. বন্ধন শক্তি (Binding Energy) ধারণা সূত্র/সমীকরণ ব্যাখ্যা সংজ্ঞা কোনো বস্তুকে তার মহাকর্ষীয় আকর্ষণ ক্ষেত্র থেকে সম্পূর্ণরূপে মুক্ত করতে যে ন্যূনতম শক্তির প্রয়োজন হয়। সূত্র $$E_b = - E_{\text{মোট}} = \frac{GMm}{2r}$$ মোট শক্তি ($E$) ঋণাত্মক হওয়ায়, বন্ধন শক্তি সর্বদা ধনাত্মক হয়। ১৭. দুটি বস্তুর মধ্যবর্তী মহাকর্ষীয় বল বনাম ওজন (Gravitational Force vs. Weight) বৈশিষ্ট্য মহাকর্ষীয় বল (Gravitational Force, $F$) ওজন (Weight, $W$) সংজ্ঞা মহাবিশ্বের যেকোনো দুটি বস্তুর মধ্যে পারস্পরিক আকর্ষণ বল। পৃথিবীর অভিকর্ষজ টানের কারণে কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল। সূত্র $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$ $$W = mg$$ কার উপর নির্ভর করে উভয় বস্তুর ভর এবং তাদের দূরত্বের উপর। বস্তুর ভর এবং যে গ্রহের উপর বস্তুটি আছে তার অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$)-এর উপর। মান মহাবিশ্বের সর্বত্র এর মান বিদ্যমান, তবে দূরত্ব বাড়লে কমে যায়। এটি স্থান পরিবর্তন করলে পরিবর্তিত হয় ($g$-এর পরিবর্তনের জন্য)। ১৮. মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং অভিকর্ষজ ত্বরণের সম্পর্ক ($G$ vs. $g$) বৈশিষ্ট্য সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক ($G$) অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) প্রকৃতি এটি একটি স্কেলার ধ্রুবক । এটি একটি ভেক্টর রাশি (ত্বরণ)। স্থান/মাধ্যমের প্রভাব এটি সার্বজনীন ; কোনো কিছুর উপর নির্ভর করে না। এটি স্থান, উচ্চতা, গভীরতা এবং পৃথিবীর আবর্তনের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়। একক $\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ $\text{m}/\text{s}^2$ বা $\text{N}/\text{kg}$ ১৯. পৃথিবীর গতি এবং সময়ের উপর প্রভাব (Effect of Earth's Rotation on Time) ধারণা প্রভাব ব্যাখ্যা যদি পৃথিবীর ঘূর্ণন বন্ধ হয় সব স্থানে $g$ এর মান বৃদ্ধি পাবে। $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ সূত্রে, $\omega=0$ হওয়ায় $g' = g$ (অর্থাৎ, শুধু মেরুতে $\lambda=90^\circ$ ছাড়া)। দোলক ঘড়ির সময় পৃথিবীর ঘূর্ণন বন্ধ হলে দোলক ঘড়ি দ্রুত চলবে । দোলনকাল $T \propto 1/\sqrt{g'}$। যেহেতু $g'$ বাড়বে, $T$ কমবে। ২০. কক্ষীয় বেগের সাথে মুক্তি বেগের সম্পর্ক (Relation between $v_o$ and $v_e$) সম্পর্ক সূত্র তাৎপর্য মুক্তির জন্য প্রয়োজনীয় বেগ $$v_e = \sqrt{2} \cdot v_o$$ কোনো উপগ্রহকে তার বর্তমান কক্ষপথ থেকে মুক্ত করে অসীমে পাঠাতে হলে তার কক্ষীয় বেগের তুলনায় $\sqrt{2}$ গুণ বেশি বেগ দিতে হবে। শক্তি (Energy) মুক্তি বেগের সাথে যে গতিশক্তি যুক্ত থাকে, তা কক্ষীয় বেগের সাথে যুক্ত গতিশক্তির দ্বিগুণ। ২১. মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি বনাম বিভব (Gravitational Potential Energy vs. Potential) বৈশিষ্ট্য মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি ($U$) মহাকর্ষীয় বিভব ($V$) সংজ্ঞা একটি ভরকে অসীম থেকে অন্য ভরের ক্ষেত্রে কোনো বিন্দুতে আনতে কৃতকার্য। একক ভরকে অসীম থেকে অন্য ভরের ক্ষেত্রে কোনো বিন্দুতে আনতে কৃতকার্য। সূত্র $$U = - \frac{GMm}{r}$$ $$V = - \frac{GM}{r}$$ সম্পর্ক $$U = m \times V$$ বিভব হলো স্থিতিশক্তি ও ভরের অনুপাত।