Equações Diferenciais 1ª Ordem

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5. Definições e Conceitos Básicos Equação Diferencial Ordinária (EDO): Uma equação que envolve uma função incógnita $y = y(t)$ e as suas derivadas em ordem a $t$. $$f(t, y, y', ..., y^{(n)}) = 0$$ Geralmente escrita na forma: $$y^{(n)} = f(t, y, y', ..., y^{(n-1)})$$ Ordem de uma EDO: A maior das ordens das derivadas que nela aparecem. Solução de uma EDO: Uma função $y = g(t)$ definida num intervalo $I$, com as suas derivadas até à ordem $n$, que satisfaz a equação diferencial. Equação Diferencial Parcial (EDP): Se derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis aparecem na equação. Exemplo (Equação da Difusão): $$\alpha^2 \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}$$ Definições Adicionais Condições Iniciais: Condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variável independente. Exemplo: $$\begin{cases} y''(t) = f(t, y, y') \\ y(a) = \alpha \\ y'(a) = \beta \end{cases}, \quad t \in [a, b]$$ Condições de Fronteira: Condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para valores distintos da variável independente. Exemplo: $$\begin{cases} y''(t) = f(t, y, y') \\ y(a) = \alpha \\ y(b) = \beta \end{cases}, \quad t \in [a, b]$$ EDO Linear: Uma EDO é linear se a função $f$ é linear em relação a $y^{(n)}, y^{(n-1)}, ..., y', y$. Pode ser escrita como: $$a_0(t)y^{(n)} + a_1(t)y^{(n-1)} + ... + a_n(t)y = g(t)$$ onde $a_0(t), ..., a_n(t)$ e $g(t)$ são funções apenas de $t$. 5.2 Equações Diferenciais de 1ª Ordem 5.2.1 Existência e Unicidade de Solução Teorema (Condição de Lipschitz): Para o problema de condição inicial $$\begin{cases} y'(t) = f(t, y) \\ y(a) = \alpha \end{cases}, \quad t \in [a, b]$$ se existir $L > 0$ tal que $\left| \frac{\partial f}{\partial y}(t, y) \right| 5.2.2 Método de Picard Aproximação da solução $y(t)$ do problema de valores iniciais: $$\begin{cases} y'(t) = f(t, y) \\ y(a) = \alpha \end{cases}, \quad t \in [a, b]$$ recorrendo à expressão: $$y_{i+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(x, y_i(x)) dx$$ Quando $n \to \infty$, $y_n(t)$ tende para a solução $y(t)$ do problema. Estimativa do erro: $E_a \approx |y_n(t) - y_{n-1}(t)|$. 5.2.3 Equações Diferenciais de Variáveis Separadas Definição: Uma equação do tipo $g(y)y' = f(x)$, ou $g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)$. Solução Geral: Obtém-se por primitivação de ambos os membros: $$\int g(y)dy = \int f(x)dx + C$$ Resultando em $G(y) = F(x) + C$, onde $F(x)$ e $G(y)$ são primitivas de $f(x)$ e $g(y)$, respetivamente. 5.2.4 Equações Diferenciais de Variáveis Separváveis Definição: Uma equação do tipo $f_1(t)h_1(y)dt = f_2(t)h_2(y)dy$. Forma Separada: Dividindo por $f_2(t)h_1(y)$, obtém-se: $$\frac{f_1(t)}{f_2(t)}dt = \frac{h_2(y)}{h_1(y)}dy$$ Integral Geral: $$\int \frac{f_1(t)}{f_2(t)}dt = \int \frac{h_2(y)}{h_1(y)}dy + C$$ 5.2.5 Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem Forma Geral: $$y' + p(x)y = f(x)$$ Fator Integrante: $\mu(x) = \exp\left[\int p(x)dx\right]$. Solução: Multiplicando a equação por $\mu(x)$, obtemos: $$\frac{d}{dx}(y\mu(x)) = \mu(x)f(x)$$ Integrando, a solução geral é: $$y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)f(x)dx + C\right]$$ ou $$y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx + C\right]$$ 5.2.6 Equações Diferenciais Totais Exatas Definição: A equação $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ é total exata se existe uma função $F(x, y)$ com derivadas parciais contínuas tal que: $$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{e} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$$ Critério de Exatidão: A equação é total exata se e só se: $$\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)$$ Solução: $F(x, y) = C$. Para encontrar $F(x, y)$: 1. Integre $M(x, y)$ em relação a $x$ para obter $F(x, y) = \int M(x, y)dx + g(y)$. 2. Derive $F(x, y)$ em relação a $y$ e iguale a $N(x, y)$ para encontrar $g'(y)$. 3. Integre $g'(y)$ para encontrar $g(y)$ (ignorando a constante, pois já temos $C$). 5.2.7 Fator Integrante Se $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ não é exata, pode-se tentar multiplicá-la por um fator integrante $\mu(x, y)$ para torná-la exata. Se $\mu = \mu(x)$: $$\frac{d\mu}{dx} = \frac{M_y - N_x}{N}\mu$$ Se $\frac{M_y - N_x}{N}$ for uma função apenas de $x$, $\mu(x) = \exp\left[\int \frac{M_y - N_x}{N}dx\right]$. Se $\mu = \mu(y)$: $$\frac{d\mu}{dy} = \frac{N_x - M_y}{M}\mu$$ Se $\frac{N_x - M_y}{M}$ for uma função apenas de $y$, $\mu(y) = \exp\left[\int \frac{N_x - M_y}{M}dy\right]$. 5.2.8 Equações Homogéneas Definição: Uma equação de 1ª ordem é homogénea se pode ser escrita na forma $$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Substituição: Faça $v = \frac{y}{x}$, ou seja, $y = vx$. Então $y' = v + x\frac{dv}{dx}$. A equação transforma-se numa equação de variáveis separáveis: $$v + x\frac{dv}{dx} = f(v) \implies x\frac{dv}{dx} = f(v) - v$$ $$\frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x}$$ Equações Redutíveis a Homogéneas: Equações do tipo $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)$. Se $c=r=0$, já é homogénea. Se $ad-bp \neq 0$: Faça a substituição $x = u+h$ e $y = v+k$, onde $(h, k)$ é a solução do sistema $ah+bk+c=0$ e $ph+qk+r=0$. A equação torna-se homogénea em $u, v$. Se $ad-bp = 0$: Faça a substituição $z = ax+by$. 5.2.9 Equação de Bernoulli Definição: Uma equação da forma: $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = f(x)y^n$$ onde $n$ é um número racional, $n \ne 0, n \ne 1$. Redução a Linear: Divida por $y^n$: $y^{-n}\frac{dy}{dx} + p(x)y^{1-n} = f(x)$. Faça a substituição $v = y^{1-n}$. Então $\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$. A equação transforma-se numa EDO linear em $v$: $$\frac{1}{1-n}\frac{dv}{dx} + p(x)v = f(x) \implies \frac{dv}{dx} + (1-n)p(x)v = (1-n)f(x)$$ Esta pode ser resolvida usando o método do fator integrante para equações lineares de 1ª ordem. 5.2.10 Equação de Riccati Definição: Uma equação da forma: $$\frac{dy}{dx} = a(x) + b(x)y + c(x)y^2$$ Redução a Linear (se uma solução particular $y_1(x)$ é conhecida): Faça a substituição $y = y_1 + \frac{1}{v}$. Então $\frac{dy}{dx} = \frac{dy_1}{dx} - \frac{1}{v^2}\frac{dv}{dx}$. Substituindo na equação de Riccati e simplificando (usando o facto de $y_1$ ser solução), obtém-se uma EDO linear de 1ª ordem em $v$: $$\frac{dv}{dx} - (b(x) + 2c(x)y_1(x))v = c(x)$$ Esta equação linear em $v$ pode ser resolvida pelo método do fator integrante.