Forma Geral: $$y' + p(x)y = f(x)$$
Fator Integrante: $\mu(x) = \exp\left[\int p(x)dx\right]$.
Solução: Multiplicando a equação por $\mu(x)$, obtemos: $$\frac{d}{dx}(y\mu(x)) = \mu(x)f(x)$$ Integrando, a solução geral é: $$y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)f(x)dx + C\right]$$ ou $$y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx + C\right]$$

Definição: A equação $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ é total exata se existe uma função $F(x, y)$ com derivadas parciais contínuas tal que: $$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{e} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$$
Critério de Exatidão: A equação é total exata se e só se: $$\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)$$
Solução: $F(x, y) = C$. Para encontrar $F(x, y)$: 1. Integre $M(x, y)$ em relação a $x$ para obter $F(x, y) = \int M(x, y)dx + g(y)$. 2. Derive $F(x, y)$ em relação a $y$ e iguale a $N(x, y)$ para encontrar $g'(y)$. 3. Integre $g'(y)$ para encontrar $g(y)$ (ignorando a constante, pois já temos $C$).

Se $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ não é exata, pode-se tentar multiplicá-la por um fator integrante $\mu(x, y)$ para torná-la exata.
Se $\mu = \mu(x)$: $$\frac{d\mu}{dx} = \frac{M_y - N_x}{N}\mu$$ Se $\frac{M_y - N_x}{N}$ for uma função apenas de $x$, $\mu(x) = \exp\left[\int \frac{M_y - N_x}{N}dx\right]$.
Se $\mu = \mu(y)$: $$\frac{d\mu}{dy} = \frac{N_x - M_y}{M}\mu$$ Se $\frac{N_x - M_y}{M}$ for uma função apenas de $y$, $\mu(y) = \exp\left[\int \frac{N_x - M_y}{M}dy\right]$.

Definição: Uma equação de 1ª ordem é homogénea se pode ser escrita na forma $$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$
Substituição: Faça $v = \frac{y}{x}$, ou seja, $y = vx$. Então $y' = v + x\frac{dv}{dx}$. A equação transforma-se numa equação de variáveis separáveis: $$v + x\frac{dv}{dx} = f(v) \implies x\frac{dv}{dx} = f(v) - v$$ $$\frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x}$$
Equações Redutíveis a Homogéneas: Equações do tipo $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)$.
- Se $c=r=0$, já é homogénea.
- Se $ad-bp \neq 0$: Faça a substituição $x = u+h$ e $y = v+k$, onde $(h, k)$ é a solução do sistema $ah+bk+c=0$ e $ph+qk+r=0$. A equação torna-se homogénea em $u, v$.
- Se $ad-bp = 0$: Faça a substituição $z = ax+by$.

Definição: Uma equação da forma: $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = f(x)y^n$$ onde $n$ é um número racional, $n \ne 0, n \ne 1$.
Redução a Linear: Divida por $y^n$: $y^{-n}\frac{dy}{dx} + p(x)y^{1-n} = f(x)$. Faça a substituição $v = y^{1-n}$. Então $\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$. A equação transforma-se numa EDO linear em $v$: $$\frac{1}{1-n}\frac{dv}{dx} + p(x)v = f(x) \implies \frac{dv}{dx} + (1-n)p(x)v = (1-n)f(x)$$ Esta pode ser resolvida usando o método do fator integrante para equações lineares de 1ª ordem.

Definição: Uma equação da forma: $$\frac{dy}{dx} = a(x) + b(x)y + c(x)y^2$$
Redução a Linear (se uma solução particular $y_1(x)$ é conhecida): Faça a substituição $y = y_1 + \fr