전자기학 요약

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### 선 전하의 전기장 선 전하는 점 전하와 연속 전하 분포의 두 가지 유형이 있습니다. 선 전하 밀도 $\rho_L$ (C/m)로 특징지어지는 무한히 긴 직선 전하에 대한 전기장 $E$를 계산합니다. #### 대칭 설정의 중요성 전기장 계산에서 대칭을 고려하는 것이 중요합니다. 1. 전기장이 좌표에서 독립적인가? 2. 전기장 성분이 0이 되는가? * **대칭성:** 무한히 긴 선 전하의 경우, $\rho$와 $z$가 변함에 따라 전기장이 변하지 않습니다. 전기장은 $\phi$에 따라 변하지 않으며, $\rho$ 방향으로만 존재합니다. * **결과:** $E$는 $\rho$만의 함수이며 $\vec{E} = E_\rho a_\rho$ 형태를 가집니다. #### 미분 전기장 $dE$ 미분 전하 $dQ = \rho_L dz'$에 의한 점 $P(0, y, 0)$에서의 미분 전기장 $dE$는 다음과 같습니다. $$d\vec{E} = \frac{\rho_L dz' (\vec{r} - \vec{r}')}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r} - \vec{r}'|^3}$$ 여기서 $\vec{r}' = z' \vec{a}_z$ (전하 위치)이고 $\vec{r} = \rho \vec{a}_\rho$ (측정점 위치)입니다. (y축 위의 점 $P(0, y, 0)$에서 $\rho=y$이므로 $\vec{r}=y\vec{a}_\rho$) 따라서 $\vec{r} - \vec{r}' = \rho \vec{a}_\rho - z' \vec{a}_z$입니다. $$d\vec{E} = \frac{\rho_L dz' (\rho \vec{a}_\rho - z' \vec{a}_z)}{4\pi\epsilon_0 (\rho^2 + z'^2)^{3/2}}$$ #### 무한 선 전하의 총 전기장 $E_\rho$ $z$ 방향의 성분은 대칭에 의해 상쇄되어 0이 됩니다. 따라서 $\vec{E}$는 $\vec{a}_\rho$ 성분만 가집니다. $$\vec{E}_\rho = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\rho_L \rho dz'}{4\pi\epsilon_0 (\rho^2 + z'^2)^{3/2}} \vec{a}_\rho$$ 적분하면 다음과 같습니다. $$\vec{E} = \frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 \rho} \vec{a}_\rho$$ 이것은 전하로부터의 거리에 따라 전기장이 $1/\rho$에 비례하여 감소함을 보여줍니다. ### 축에서 벗어난 선 전하의 전기장 무한 선 전하가 $z$축에 평행하고 $x=6, y=8$에 위치할 때의 일반적인 전기장 $E(\vec{P}(x, y, z))$를 찾아봅시다. 이 경우 $\rho$는 선 전하와 측정점 사이의 최소 거리가 됩니다. $\rho = \sqrt{(x-6)^2 + (y-8)^2}$ 따라서 전기장은 다음과 같습니다. $$\vec{E} = \frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 \sqrt{(x-6)^2 + (y-8)^2}} \vec{a}_R$$ 여기서 $\vec{a}_R$은 선 전하에서 측정점 $P(x,y,z)$로 향하는 단위 벡터이며, $z$ 성분은 없습니다. $$\vec{a}_R = \frac{(x-6)\vec{a}_x + (y-8)\vec{a}_y}{\sqrt{(x-6)^2 + (y-8)^2}}$$ 최종적으로, $$\vec{E} = \frac{\rho_L ((x-6)\vec{a}_x + (y-8)\vec{a}_y)}{2\pi\epsilon_0 ((x-6)^2 + (y-8)^2)}$$ 전기장은 $z$의 함수가 아닙니다. #### 예제 D2.5 무한 균일 선 전하가 양의 $x$ 및 $y$ 축을 따라 5 nC/m로 놓여 있습니다. (a) $P_A(0,0,4)$에서 $\vec{E}$를 찾으시오. (b) $P_B(0,3,4)$에서 $\vec{E}$를 찾으시오. * **답:** (a) $45\vec{a}_x$ V/m; (b) $10.8\vec{a}_x + 36.9\vec{a}_y$ V/m ### 면 전하의 전기장 기본 면 전하 구성은 단위 면적당 균일한 전하 밀도 $\rho_S$ (C/m$^2$)를 갖는 무한 면입니다. 면 전하는 일반적으로 전도체 표면에서 발견됩니다. #### 대칭 무한 면 전하의 경우, $yz$ 평면에 놓여 있다고 가정하고 대칭을 고려합니다. - $x$와 $y$ 성분은 대칭에 의해 상쇄됩니다. - 전기장은 $x$만의 함수이며 $\vec{E} = E_x \vec{a}_x$ 형태를 가집니다.