Halliday 物理學速查表

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### 運動學 #### 1. 一維運動 - **位移:** $\Delta x = x_f - x_i$ - **平均速度:** $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ - **瞬時速度:** $v = \frac{dx}{dt}$ - **平均加速度:** $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ - **瞬時加速度:** $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ #### 2. 等加速度運動 - $v = v_0 + at$ - $x - x_0 = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ - $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ - $x - x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)t$ #### 3. 二維及三維運動 - **位置向量:** $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ - **速度向量:** $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}$ - **加速度向量:** $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$ #### 4. 拋體運動 (忽略空氣阻力) - $v_{0x} = v_0 \cos\theta_0$ - $v_{0y} = v_0 \sin\theta_0$ - $x = (v_0 \cos\theta_0)t$ - $y = (v_0 \sin\theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2$ - $v_y = v_0 \sin\theta_0 - gt$ - $v_x = v_{0x}$ (常數) #### 5. 圓周運動 - **向心加速度:** $a_c = \frac{v^2}{r}$ - **週期:** $T = \frac{2\pi r}{v}$ ### 牛頓運動定律 #### 1. 牛頓第一定律 (慣性定律) - 物體保持靜止或勻速直線運動，除非受到淨外力作用。 #### 2. 牛頓第二定律 - **力與加速度:** $\vec{F}_{net} = m\vec{a}$ - **動量:** $\vec{p} = m\vec{v}$ - **力與動量:** $\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ #### 3. 牛頓第三定律 - 作用力與反作用力大小相等、方向相反，作用在不同物體上。$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ #### 4. 摩擦力 - **靜摩擦力:** $f_s \le \mu_s N$ - **動摩擦力:** $f_k = \mu_k N$ #### 5. 阻力 (Drag Force) - **低速:** $D = bv$ - **高速:** $D = \frac{1}{2}C\rho Av^2$ ### 功與能量 #### 1. 功 - **常力做功:** $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta$ - **變力做功 (一維):** $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x)dx$ - **變力做功 (三維):** $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ #### 2. 動能 - **平移動能:** $K = \frac{1}{2}mv^2$ #### 3. 功-動能定理 - $W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$ #### 4. 彈力位能 - $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ #### 5. 重力位能 - $U_g = mgh$ (近地表) - $U_g = -\frac{GMm}{r}$ (一般情況) #### 6. 功率 - **平均功率:** $P_{avg} = \frac{W}{\Delta t}$ - **瞬時功率:** $P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ #### 7. 能量守恆 - **機械能守恆 (保守力):** $E_{mec} = K + U = \text{常數}$ - **廣義能量守恆:** $W_{ext} = \Delta E_{mec} + \Delta E_{th} + \Delta E_{int}$ - **非保守力做功:** $W_{nc} = \Delta E_{mec}$ ### 動量與碰撞 #### 1. 動量 - $\vec{p} = m\vec{v}$ #### 2. 衝量 - **衝量-動量定理:** $\vec{J} = \Delta \vec{p} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)dt$ - **平均力:** $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$ #### 3. 動量守恆定律 - 若系統所受淨外力為零，則系統總動量守恆。$\vec{P}_{total} = \sum \vec{p}_i = \text{常數}$ #### 4. 碰撞 - **彈性碰撞:** 動量守恆且動能守恆。 - 一維彈性碰撞: - $v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_{2i}$ - $v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_{2i}$ - **非彈性碰撞:** 動量守恆但動能不守恆 ($K_{final} ### 轉動 #### 1. 轉動運動學 - **角位移:** $\Delta\theta$ (徑度) - **平均角速度:** $\omega_{avg} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ - **瞬時角速度:** $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ - **平均角加速度:** $\alpha_{avg} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ - **瞬時角加速度:** $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ #### 2. 等角加速度轉動 - $\omega = \omega_0 + \alpha t$ - $\theta - \theta_0 = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ - $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$ #### 3. 線性與角度變量關係 (半徑 $r$) - **弧長:** $s = r\theta$ - **切線速度:** $v_t = r\omega$ - **切線加速度:** $a_t = r\alpha$ - **向心加速度:** $a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$ #### 4. 轉動慣量 - **點質量:** $I = mr^2$ - **剛體:** $I = \int r^2 dm$ - **平行軸定理:** $I = I_{com} + Md^2$ #### 5. 轉動動能 - $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ - **滾動動能:** $K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv_{com}^2 + \frac{1}{2}I_{com}\omega^2$ #### 6. 轉矩 (力矩) - $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ - **大小:** $\tau = rF\sin\phi = rF_t$ - **牛頓第二定律的轉動形式:** $\vec{\tau}_{net} = I\vec{\alpha}$ #### 7. 角動量 - **點質量:** $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ - **剛體:** $\vec{L} = I\vec{\omega}$ - **力矩與角動量:** $\vec{\tau}_{net} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ #### 8. 角動量守恆定律 - 若系統所受淨外力矩為零，則系統總角動量守恆。$\vec{L}_{total} = \text{常數}$ #### 9. 功與功率 (轉動) - **功:** $W = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \tau d\theta$ - **功率:** $P = \tau\omega$ ### 萬有引力 #### 1. 牛頓萬有引力定律 - **引力大小:** $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ ($G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) #### 2. 重力加速度 - **近地表:** $g = G\frac{M_E}{R_E^2}$ - **距地心 $r$ 處:** $g(r) = G\frac{M}{r^2}$ (對於球對稱質量分佈，外部) #### 3. 軌道運動 - **軌道速度 (圓軌道):** $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ - **週期 (克卜勒第三定律):** $T^2 = (\frac{4\pi^2}{GM})a^3$ (對於橢圓軌道，$a$ 為半長軸) #### 4. 萬有引力位能 - $U = -\frac{GMm}{r}$ (參考點 $U=0$ 在無窮遠處) #### 5. 逃逸速度 - $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ ### 震盪 #### 1. 簡諧運動 (SHM) - **位移:** $x(t) = x_m \cos(\omega t + \phi)$ - **速度:** $v(t) = -\omega x_m \sin(\omega t + \phi)$ - **加速度:** $a(t) = -\omega^2 x_m \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$ - **角頻率:** $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ (彈簧-質量系統) - **週期:** $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ - **頻率:** $f = \frac{1}{T}$ #### 2. 簡諧運動的能量 - **總能量:** $E = \frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ #### 3. 單擺 - **週期 (小角度近似):** $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ #### 4. 物理擺 - **週期:** $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$ ( $d$ 為轉軸到質心的距離) #### 5. 阻尼簡諧運動 - $x(t) = x_m e^{-bt/2m} \cos(\omega' t + \phi)$ - **角頻率:** $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ #### 6. 受迫震盪與共振 - 當驅動頻率接近系統的固有頻率時，振幅最大。 ### 波動 #### 1. 橫波與縱波 - **橫波:** 介質震動方向垂直於波傳播方向 (例如繩波、電磁波)。 - **縱波:** 介質震動方向平行於波傳播方向 (例如聲波)。 #### 2. 波的性質 - **波速:** $v = \lambda f$ - **週期:** $T = \frac{1}{f}$ - **繩波速度:** $v = \sqrt{\frac{\tau}{\mu}}$ ($\tau$ 張力, $\mu$ 線密度) #### 3. 簡諧波 - **波函數:** $y(x,t) = y_m \sin(kx - \omega t + \phi)$ - **角波數:** $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ - **角頻率:** $\omega = 2\pi f$ - **波速:** $v = \frac{\omega}{k}$ #### 4. 能量與功率 (繩波) - **平均功率:** $P_{avg} = \frac{1}{2}\mu v \omega^2 y_m^2$ #### 5. 干涉 - **建設性干涉:** $\Delta L = n\lambda$ (n=0, 1, 2, ...) - **破壞性干涉:** $\Delta L = (n + \frac{1}{2})\lambda$ (n=0, 1, 2, ...) #### 6. 駐波 - **兩端固定弦:** $f_n = n\frac{v}{2L}$ ($n=1, 2, 3, ...$) - **波長:** $\lambda_n = \frac{2L}{n}$ #### 7. 聲波 - **聲速 (理想氣體):** $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ - **聲速 (固體棒):** $v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ ($E$ 楊氏模量) - **聲強:** $I = \frac{P}{A}$ - **聲強級:** $\beta = (10 \text{ dB})\log_{10}\frac{I}{I_0}$ ($I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$) #### 8. 都卜勒效應 - **觀察頻率:** $f' = f \frac{v \pm v_D}{v \mp v_S}$ - $v_D$: 偵測器速度；$v_S$: 聲源速度 - 靠近時頻率變高 (分子用 +，分母用 -) - 離開時頻率變低 (分子用 -，分母用 +) ### 熱力學 #### 1. 溫度、熱與熱力學第一定律 - **熱力學第零定律:** 若 A 和 B 達到熱平衡，B 和 C 達到熱平衡，則 A 和 C 也達到熱平衡。 - **熱膨脹:** - **長度:** $\Delta L = L\alpha\Delta T$ - **體積:** $\Delta V = V\beta\Delta T$ ($\beta = 3\alpha$) - **熱傳導:** $Q = mc\Delta T$ - **潛熱:** $Q = mL$ (融化或汽化) - **熱傳導率:** $P_{cond} = kA\frac{T_H - T_C}{L}$ - **熱力學第一定律:** $\Delta E_{int} = Q - W$ - $Q$: 系統吸收的熱量 - $W$: 系統對外做的功 #### 2. 熱力學過程 - **等溫過程:** $\Delta T = 0 \Rightarrow \Delta E_{int} = 0 \Rightarrow Q = W$ - **絕熱過程:** $Q = 0 \Rightarrow \Delta E_{int} = -W$ - **等容過程:** $\Delta V = 0 \Rightarrow W = 0 \Rightarrow \Delta E_{int} = Q$ - **等壓過程:** $W = P\Delta V$ #### 3. 理想氣體 - **理想氣體定律:** $PV = nRT = NkT$ - **壓力與動能:** $P = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m(v_{rms})^2$ - **方均根速率:** $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ - **內能 (單原子):** $E_{int} = \frac{3}{2}nRT$ #### 4. 熱機與冰箱 - **熱機效率:** $\epsilon = \frac{|W|}{|Q_H|} = 1 - \frac{|Q_C|}{|Q_H|}$ - **卡諾循環效率:** $\epsilon_C = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ - **冰箱性能係數:** $K = \frac{|Q_C|}{|W|}$ - **卡諾冰箱性能係數:** $K_C = \frac{T_C}{T_H - T_C}$ #### 5. 熵 - **熵的變化:** $\Delta S = \int \frac{dQ}{T}$ (可逆過程) - **熱力學第二定律:** 封閉系統的熵永不減少 ($\Delta S \ge 0$) - **熵與不可逆性:** $\Delta S_{total} = \Delta S_{sys} + \Delta S_{surr} \ge 0$ ### 電學 #### 1. 電荷與庫侖定律 - **基本電荷:** $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ - **庫侖定律:** $F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ ($k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.99 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$) #### 2. 電場 - **點電荷電場:** $\vec{E} = k\frac{q}{r^2}\hat{r}$ - **電場力:** $\vec{F} = q\vec{E}$ - **高斯定律:** $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$ #### 3. 電位 - **電位能:** $U = k\frac{q_1 q_2}{r}$ (點電荷) - **電位:** $V = k\frac{q}{r}$ (點電荷) - **電位與電場:** $\vec{E} = -\nabla V$ 或 $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$ - **電位差:** $\Delta V = V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E} \cdot d\vec{s}$ #### 4. 電容 - **定義:** $C = \frac{Q}{V}$ - **平行板電容器:** $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ - **串聯電容:** $\frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{1}{C_i}$ - **並聯電容:** $C_{eq} = \sum C_i$ - **電容器儲存能量:** $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV$ - **電場能量密度:** $u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ #### 5. 電流與電阻 - **電流:** $I = \frac{dQ}{dt}$ - **歐姆定律:** $V = IR$ - **電阻率:** $R = \rho\frac{L}{A}$ - **功率:** $P = IV = I^2R = \frac{V^2}{R}$ #### 6. 直流電路 - **串聯電阻:** $R_{eq} = \sum R_i$ - **並聯電阻:** $\frac{1}{R_{eq}} = \sum \frac{1}{R_i}$ - **基爾霍夫定律:** - **節點定律 (電流):** $\sum I_{in} = \sum I_{out}$ - **迴路定律 (電位):** $\sum \Delta V = 0$ - **RC 電路:** - **充電:** $Q(t) = C\mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ - **放電:** $Q(t) = Q_0 e^{-t/RC}$ - **時間常數:** $\tau = RC$ ### 磁學 #### 1. 磁場 - **磁力 (運動電荷):** $\vec{F}_B = q\vec{v} \times \vec{B}$ - **磁力 (載流導線):** $\vec{F}_B = I\vec{L} \times \vec{B}$ - **霍爾效應:** $V_H = \frac{IB}{net}$ ($n$ 為載流子密度) #### 2. 磁場源 - **畢奧-薩伐爾定律:** $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$ - **安培定律:** $\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{enc}$ - **螺線管磁場:** $B = \mu_0 n I$ ($n$ 為單位長度匝數) - **環形螺線管磁場:** $B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}$ - **亥姆霍茲線圈:** 產生均勻磁場 #### 3. 法拉第定律與電感 - **磁通量:** $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ - **法拉第感應定律:** $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ - **楞次定律:** 感應電流的方向總是阻止引起它的磁通量變化。 - **動生電動勢:** $\mathcal{E} = BLv$ (導體棒在磁場中運動) - **自感:** $\mathcal{E}_L = -L\frac{dI}{dt}$ - **電感器儲存能量:** $U_B = \frac{1}{2}LI^2$ - **磁場能量密度:** $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ #### 4. RL 和 LC 電路 - **RL 電路 (充電):** $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}(1 - e^{-t/\tau_L})$ - **時間常數:** $\tau_L = L/R$ - **LC 電路 (無阻尼):** - **電荷:** $Q(t) = Q_m \cos(\omega t + \phi)$ - **電流:** $I(t) = -\omega Q_m \sin(\omega t + \phi)$ - **角頻率:** $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ - **RLC 電路 (阻尼震盪):** - **電荷:** $Q(t) = Q_m e^{-Rt/2L} \cos(\omega' t + \phi)$ - **阻尼角頻率:** $\omega' = \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}$