Elektromanyetik Dalga Teorisi

Cheatsheet Content

1. Maxwell Denklemleri ve Sınır Şartları 1.1. Maxwell Denklemleri Elektromanyetik indüksiyonun temel postülatı, zamanla değişen bir manyetik alanın bir elektrik alana yol açtığını ifade eder. Rotasyon ve diverjans bağıntılarının son şekli: Faraday Kanunu: $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ Ampere-Maxwell Kanunu: $\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ Gauss Kanunu (Elektrik): $\nabla \cdot \vec{D} = \rho$ Gauss Kanunu (Manyetik): $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ Ayrıca, yükün korunumu ilkesi (süreklilik denklemi): $\nabla \cdot \vec{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$. 1.2. Elektromanyetik Sınır Şartları İki ortamı ayıran arayüzeyde alan vektörlerinin sağlaması gereken şartlar: $\vec{E}$ alanının teğet bileşeni arayüzeyde süreklidir: $E_{1t} = E_{2t}$ $\vec{H}$ alanının teğet bileşeni, bir yüzey akımının bulunduğu arayüzeyi geçerken süreksizdir: $\hat{n}_2 \times (\vec{H}_1 - \vec{H}_2) = \vec{J}_s$ $\vec{D}$ alanının normal bileşeni, bir yüzey yükünün bulunduğu arayüzeyi geçerken süreksizdir: $\hat{n}_2 \cdot (\vec{D}_1 - \vec{D}_2) = \rho_s$ $\vec{B}$ alanının normal bileşeni arayüzeyi geçerken süreklidir: $B_{1n} = B_{2n}$ Kayıpsız İki Ortam Arasındaki Sınır Şartları ($J_s=0, \rho_s=0$) $E_{1t} = E_{2t}$ $H_{1t} = H_{2t}$ $D_{1n} = D_{2n} \implies \epsilon_1 E_{1n} = \epsilon_2 E_{2n}$ $B_{1n} = B_{2n} \implies \mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n}$ Dielektrikle İdeal İletken Arasındaki Sınır Şartları ($E_2=0, H_2=0, D_2=0, B_2=0$) $E_{1t} = 0$ $\hat{n}_2 \times \vec{H}_1 = \vec{J}_s$ $\hat{n}_2 \cdot \vec{D}_1 = \rho_s$ $B_{1n} = 0$ 2. Dalga Denklemleri ve Çözümleri 2.1. Potansiyeller Cinsinden Dalga Denklemleri Manyetik vektör potansiyel $\vec{A}$ ve skaler potansiyel $V$ ile Maxwell denklemleri: $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ $\vec{E} = -\nabla V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ Lorentz şartı: $\nabla \cdot \vec{A} + \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0$. Homojen olmayan dalga denklemleri: Vektör potansiyeli için: $\nabla^2 \vec{A} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu \vec{J}$ Skaler potansiyel için: $\nabla^2 V - \mu \epsilon \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon}$ Bu denklemlerin çözümleri, $u = 1/\sqrt{\mu \epsilon}$ hızıyla hareket eden dalgaları temsil eder. 2.2. Potansiyeller İçin Dalga Denklemlerinin Çözümü Gecikmiş potansiyeller: $V(\vec{R},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon} \iiint_V \frac{\rho(t-R/u)}{R} dV'$ $\vec{A}(\vec{R},t) = \frac{\mu}{4\pi} \iiint_V \frac{\vec{J}(t-R/u)}{R} dV'$ 2.3. Alanlar Cinsinden Kaynaksız ve Kayıpsız Dalga Denklemleri Kaynaksız ($\rho=0, \vec{J}=0$) ve kayıpsız ($\sigma=0$) ortamda, Maxwell denklemleri: $\nabla \times \vec{E} = -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$ $\nabla \times \vec{H} = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ $\nabla \cdot \vec{E} = 0$ $\nabla \cdot \vec{H} = 0$ Homojen vektörel dalga denklemleri: $\nabla^2 \vec{E} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$ $\nabla^2 \vec{H} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} = 0$ Burada $u = 1/\sqrt{\mu \epsilon}$ dalga yayılma hızıdır. 2.4. Zamana Göre Harmonik Dalgalar (Fazörler) Zamana göre harmonik değişen alanlar için fazör gösterimi: $\vec{E}(\vec{R},t) = \text{Re}[\vec{E}_s(\vec{R})e^{j\omega t}]$ $\vec{H}(\vec{R},t) = \text{Re}[\vec{H}_s(\vec{R})e^{j\omega t}]$ Maxwell denklemleri fazör formunda: $\nabla \times \vec{E}_s = -j\omega \mu \vec{H}_s$ $\nabla \times \vec{H}_s = \vec{J}_s + j\omega \epsilon \vec{E}_s$ $\nabla \cdot \vec{D}_s = \rho_s$ $\nabla \cdot \vec{B}_s = 0$ Kaynaksız ve kayıpsız ortamda dalga denklemleri (fazör formunda): $\nabla^2 \vec{E}_s + k^2 \vec{E}_s = 0$ $\nabla^2 \vec{H}_s + k^2 \vec{H}_s = 0$ Burada $k = \omega \sqrt{\mu \epsilon}$ dalga sayısıdır. 2.5. Düzlemsel Dalgaların Kutuplanması Düzlemsel dalganın kutuplanması, elektrik alan şiddeti vektörünün uzayda belli bir noktada zamanla değişen davranışını tanımlar. Lineer Kutuplanma: $\vec{E}_s(\vec{R}) = \hat{x} E_{x0} e^{-jkz}$ gibi tek bir yönde salınım. Eliptik Kutuplanma: İki dik bileşenin farklı genlik ve faz farkıyla süperpozisyonu. Dairesel Kutuplanma: Eliptik kutuplanmanın özel hali, dik bileşenlerin eşit genlik ve $90^\circ$ faz farkıyla süperpozisyonu. 3. İletken Ortamlarda Düzlemsel Dalgalar İletken bir ortamda, dalga yayılma sabiti $\gamma = \alpha + j\beta$ karmaşıktır. Burada $\alpha$ zayıflama sabiti (Np/m) ve $\beta$ faz sabiti (rad/m)dir. Helmholtz denklemi (fazör formunda): $\nabla^2 \vec{E}_s - \gamma^2 \vec{E}_s = 0$. Çözüm: $\vec{E}_s(z) = \hat{x} E_0 e^{-\gamma z} = \hat{x} E_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$ 3.1. Az Kayıplı Dielektrik ($\sigma/\omega\epsilon \ll 1$) Zayıflama sabiti: $\alpha \approx \frac{\sigma}{2} \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$ Faz sabiti: $\beta \approx \omega \sqrt{\mu \epsilon} \left(1 + \frac{1}{8} \left(\frac{\sigma}{\omega \epsilon}\right)^2 \right)$ Öz empedans: $\eta_c \approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \left(1 + j \frac{\sigma}{2\omega \epsilon}\right)$ Faz hızı: $u_p = \frac{\omega}{\beta} \approx \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} \left(1 - \frac{1}{8} \left(\frac{\sigma}{\omega \epsilon}\right)^2 \right)$ 3.2. İyi İletken ($\sigma/\omega\epsilon \gg 1$) Zayıflama ve faz sabiti: $\alpha = \beta \approx \sqrt{\pi f \mu \sigma}$ Öz empedans: $\eta_c \approx \sqrt{\frac{\pi f \mu}{\sigma}} (1+j) = \sqrt{\frac{2\pi f \mu}{\sigma}} e^{j\pi/4}$ Faz hızı: $u_p = \frac{\omega}{\beta} \approx \sqrt{\frac{2\omega}{\mu \sigma}}$ Deri derinliği: $\delta = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$ 3.3. Grup Hızı Dispersif bir ortamda, farklı frekanslı dalgalar farklı faz hızlarıyla yayılır. Bir dalga paketinin zarfının yayılma hızı grup hızı olarak tanımlanır: $u_g = \frac{d\omega}{d\beta}$ $u_g = \frac{u_p}{1 - \frac{\omega}{u_p} \frac{du_p}{d\omega}}$ Dispersiyon durumları: Hiçbir dispersiyon yok: $u_g = u_p$ (yani $\frac{du_p}{d\omega} = 0$) Normal dispersiyon: $u_g Anormal dispersiyon: $u_g > u_p$ (yani $\frac{du_p}{d\omega} > 0$) 4. Elektromanyetik Güç Akışı ve Poynting Vektörü 4.1. Ani ve Ortalama Güç Yoğunlukları Elektromanyetik dalgalar kendileriyle birlikte güç taşırlar. Bu güç akışını Poynting vektörü $\vec{P}$ temsil eder. Ani Poynting Vektörü: $\vec{P}(\vec{R},t) = \vec{E}(\vec{R},t) \times \vec{H}(\vec{R},t)$ (W/m$^2$) Ortalama Poynting Vektörü: $\vec{P}_{ort}(\vec{R}) = \frac{1}{2} \text{Re}[\vec{E}_s(\vec{R}) \times \vec{H}_s^*(\vec{R})]$ (W/m$^2$) Poynting teoremi: $-\oint_S \vec{P} \cdot d\vec{S} = \frac{\partial}{\partial t} \iiint_V \left(\frac{1}{2}\epsilon E^2 + \frac{1}{2}\mu H^2\right) dV + \iiint_V \sigma E^2 dV$ Bu denklem, kapalı bir yüzeye akan toplam gücün, depolanmış elektrik ve manyetik enerjilerin artış hızı ile hacim içinde harcanan ohmik gücün toplamına eşit olduğunu ifade eder. Enerji yoğunlukları: Elektrik enerji yoğunluğu: $w_e = \frac{1}{2}\epsilon E^2$ Manyetik enerji yoğunluğu: $w_m = \frac{1}{2}\mu H^2$ Ohmik güç yoğunluğu: $P_{\sigma} = \sigma E^2$ 5. Düzlemsel Elektromanyetik Dalgaların Yansıması ve Kırılması 5.1. Düzlem İletken Sınıra Dik Gelme Bir düzgün düzlemsel dalga, mükemmel iletken bir sınıra (z=0 düzlemi, $\sigma_2 = \infty$) dik olarak geldiğinde: Gelen elektrik alan fazörü: $\vec{E}_i(z) = \hat{x} E_{i0} e^{-j\beta_1 z}$ Gelen manyetik alan fazörü: $\vec{H}_i(z) = \hat{y} \frac{E_{i0}}{\eta_1} e^{-j\beta_1 z}$ Yansıyan elektrik alan fazörü: $\vec{E}_r(z) = \hat{x} E_{r0} e^{+j\beta_1 z}$ Sınır şartından ($E_{1t}(0)=0$): $E_{r0} = -E_{i0}$ Toplam elektrik alan fazörü: $\vec{E}_1(z) = \hat{x} E_{i0} (e^{-j\beta_1 z} - e^{j\beta_1 z}) = -j\hat{x} 2 E_{i0} \sin(\beta_1 z)$ Toplam manyetik alan fazörü: $\vec{H}_1(z) = \hat{y} \frac{2 E_{i0}}{\eta_1} \cos(\beta_1 z)$ Bu, zıt yönlerde yürüyen iki dalganın süperpozisyonundan oluşan duran dalga dır. $\vec{E}_1$ iletken sınırda ($z=0$) sıfırdır. $\vec{H}_1$ iletken sınırda maksimumdur. $\vec{E}_1$ ile $\vec{H}_1$ arasında $90^\circ$ faz farkı vardır ve uzayda çeyrek dalgaboyu kaymıştır. 5.2. Düzlem İletken Sınıra Eğik Gelme Gelme Düzlemi: Gelen dalganın yayılma yönünü gösteren vektörün ve sınır yüzeyine dik vektörün içinde bulunduğu düzlem. İki polarizasyon durumu incelenir: Dik Polarizasyon (Yatay veya $\vec{E}$ Polarizasyon): $\vec{E}$ alanı gelme düzlemine diktir. Snell Yansıma Kanunu: $\theta_r = \theta_i$ (yansıma açısı gelme açısına eşittir). Toplam elektrik alan: $\vec{E}_1(x,z) = -j\hat{y} 2 E_{i0} \sin(\beta_1 z \cos \theta_i) e^{-j\beta_1 x \sin \theta_i}$ Paralel Polarizasyon (Düşey veya $\vec{H}$ Polarizasyon): $\vec{E}$ alanı gelme düzlemi içindedir. Snell Yansıma Kanunu: $\theta_r = \theta_i$ Toplam manyetik alan: $\vec{H}_1(x,z) = \hat{y} \frac{2 E_{i0}}{\eta_1} \cos(\beta_1 z \cos \theta_i) e^{-j\beta_1 x \sin \theta_i}$