Калкулус 1

Cheatsheet Content

### Граници - **Дефиниција:** $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ако $f(x)$ се приближува кон $L$ како $x$ се приближува кон $a$. - **Својства:** - $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$ - $\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$ - $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$ - $\lim_{x \to a} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$, ако $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$ - **Важни граници:** - $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ - $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ - $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ ### Изводи - **Дефиниција:** $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ - **Правила за диференцирање:** - **Константа:** $\frac{d}{dx}(c) = 0$ - **Степен:** $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ - **Константа-функција:** $\frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x)$ - **Збир/Разлика:** $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ - **Производ:** $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ - **Количник:** $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ - **Верижно правило:** $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ - **Изводи на основни функции:** - $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ - $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ - $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$ - $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ - $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ ### Примена на Изводи - **Наклон на тангента:** $m = f'(a)$ во точката $(a, f(a))$ - **Равенка на тангента:** $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ - **Монотонија (Растење/Опаѓање):** - Ако $f'(x) > 0$ на интервал, функцијата $f(x)$ расте на тој интервал. - Ако $f'(x) 0$, тогаш $f(c)$ е локален минимум. - Ако $f'(c) = 0$ и $f''(c) 0$, функцијата е конкавна нагоре (графикот е свртен нагоре). - Ако $f''(x) ### Интеграли - **Антидериват:** Функција $F(x)$ е антидериват на $f(x)$ ако $F'(x) = f(x)$. - **Неопределен интеграл:** $\int f(x) dx = F(x) + C$ - **Основни интеграли:** - $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, за $n \neq -1$ - $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ - $\int e^x dx = e^x + C$ - $\int \sin x dx = -\cos x + C$ - $\int \cos x dx = \sin x + C$ - $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ - **Правила за интеграција:** - $\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$ - $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ - **Метод на замена (супституција):** $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$, каде $u = g(x)$ и $du = g'(x)dx$. - **Несвојствени интеграли:** - **Со бесконечни граници:** - $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$ - $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$ - $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$ - **Со прекин во интервалот:** - Ако $f(x)$ има прекин во $b$: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx$ - Ако $f(x)$ има прекин во $a$: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) dx$ - Ако $f(x)$ има прекин во $c \in (a,b)$: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ - **Конвергенција/Дивергенција:** Несвојствениот интеграл конвергира ако лимесот постои и е конечен; инаку дивергира. ### Определени Интеграли - **Дефиниција (Риманова сума):** $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$ - **Основна теорема на Калкулус (дел 1):** Ако $F(x) = \int_a^x f(t) dt$, тогаш $F'(x) = f(x)$. - **Основна теорема на Калкулус (дел 2):** $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, каде $F$ е било кој антидериват на $f$. - **Својства:** - $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$ - $\int_a^a f(x) dx = 0$ - $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$ - **Примена:** - **Плоштина под крива:** Ако $f(x) \ge 0$ на $[a,b]$, тогаш плоштината е $\int_a^b f(x) dx$. - **Плоштина помеѓу криви:** $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx$, каде $f(x) \ge g(x)$.