Résumé Traitement du Signal

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1. Définition et Objectifs du Traitement du Signal Définition: Ensemble des techniques pour analyser, modifier, transformer ou extraire des informations de signaux. Types de signaux: Analogique: Continu dans le temps et en amplitude. Numérique: Discret en temps et en amplitude (souvent 0 et 1). Objectifs: Extraire des informations (reconnaissance vocale, biomédical). Améliorer la qualité (suppression du bruit). Préparer pour transmission/stockage (compression). Transformer en autre forme (modulation). Types de Traitement: Analogique: Appliqué aux signaux continus (filtres, amplificateurs). Numérique: Appliqué après numérisation (algorithmes, processeurs). 2. Signal et Bruit Signal: Représentation d'une information variant dans le temps/espace. Bruit: Perturbation aléatoire non désirée qui dégrade la qualité du signal. Rapport Signal sur Bruit (RSB): Mesure du bruit dans le signal. $RSB_{dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_s}{P_N} \right)$ où $P_s$ est la puissance du signal et $P_N$ la puissance du bruit. 3. Représentation des Signaux Domaine Temporel: Décrit l'évolution de l'amplitude en fonction du temps ($x(t)$ pour continu, $x[n]$ pour discret). Signal Causal: $f(t) = 0$ pour $t Signal Anti-causal: $f(t) = 0$ pour $t > 0$. Signal Non-causal: Défini pour $t 0$. Signal à support borné: Durée finie, $\lim_{t \to \infty} s(t) = 0$. Signal à support non borné: Durée infinie, $\lim_{t \to \infty} s(t) \neq 0$. Domaine Spatial: Pour signaux multidimensionnels (images, vidéos), intensité définie par coordonnées spatiales $s(x,y)$. Domaine Fréquentiel: Transforme la représentation temporelle en fréquences (via Transformée de Fourier). Composantes principales: Amplitude spectrale, phase spectrale, puissance spectrale. La fréquence $f = \frac{1}{T}$ (Hz), où $T$ est la période. $\omega = 2\pi f$ (rad/s) est la pulsation. 4. Classification des Signaux Dimensionnelle: Unidimensionnel: $v(t)$ (tension électrique). Bidimensionnel: $I(x,y)$ (image en niveaux de gris). Tridimensionnel: $I(x,y,t)$ (séquence d'images). Phénoménologique: Déterministe: Prédictible par un modèle mathématique (périodiques, apériodiques, transitoires). Aléatoire: Comportement imprévisible, décrit par des statistiques (moyenne, variance). Stationnaire: Caractéristiques statistiques ne varient pas avec le temps. Non-stationnaire: Caractéristiques statistiques varient avec le temps. Morphologique: Continu: Valeur définie pour tous les instants, amplitude et temps continus (analogique). Quantifié: Amplitude discrète, temps continu. Discret: Valeur définie à des instants spécifiques. Échantillonné: Amplitude continue, temps discret. Numérique/Digital: Amplitude et temps discrets. Énergétique: Énergie $E_x$: Pour signal continu $x(t)$, $E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt$. Si $E_x$ est finie, le signal est à énergie finie. Un signal physique est à énergie finie ($P=0$). Puissance $P_s$: Instantanée: $P_s(t) = |s(t)|^2$. Moyenne totale: $P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |s(t)|^2 dt$. Moyenne pour signal périodique de période $T_0$: $P = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} |s(t)|^2 dt$. Si $P$ est finie, le signal est à puissance moyenne finie. Un signal théorique est à puissance moyenne finie ($E \to \infty$). Valeur efficace (RMS): $S_{eff} = \sqrt{P_s}$. Spectrale: Basée sur la distribution de l'énergie/puissance en fréquence. Bande passante ($\Delta F$): $\Delta F = f_{max} - f_{min}$. Fréquence moyenne ($F_{moy}$): $F_{moy} = \frac{f_{max} + f_{min}}{2}$. Catégories de fréquences (BF, HF, VHF, UHF, SHF). 5. Signaux Particuliers Fonction Signe: $\text{sgn}(t) = \begin{cases} -1 & \text{si } t 0 \end{cases}$ Fonction Heaviside (Échelon unité): $u(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t 0 \end{cases}$ Relation: $u(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\text{sgn}(t)$. Fonction Rampe: $r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau) d\tau = t \cdot u(t)$. Relation: $u(t) = \frac{dr(t)}{dt}$ pour $t \neq 0$. Fonction Porte (Rectangle): $\text{rect}\left(\frac{t}{T}\right) = u\left(t + \frac{T}{2}\right) - u\left(t - \frac{T}{2}\right) = \begin{cases} 1 & \text{si } |t| T/2 \end{cases}$ Fonction Triangle: $\text{tri}\left(\frac{t}{T}\right) = \begin{cases} 1 - \frac{|t|}{T} & \text{si } |t| Fonction de Dirac ($\delta(t)$): $\delta(t) = \begin{cases} \infty & \text{si } t = 0 \\ 0 & \text{si } t \neq 0 \end{cases}$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1$. Propriétés: $\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\delta(t) dt = x(0)$. $\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = x(t_0)$. $x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)$. $x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)$. $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$. Peigne de Dirac: $\delta_{T_0}(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT_0)$. Fonction Sinus Cardinal: $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$. 6. Parité des Fonctions Fonction Paire: $f(-t) = f(t)$. Fonction Impaire: $f(-t) = -f(t)$. Décomposition: Toute fonction $f(t)$ peut être décomposée en une partie paire et une partie impaire: $f_p(t) = \frac{f(t) + f(-t)}{2}$ $f_i(t) = \frac{f(t) - f(-t)}{2}$ $f(t) = f_p(t) + f_i(t)$ Produits: Paire $\times$ Paire = Paire. Impaire $\times$ Impaire = Paire. Paire $\times$ Impaire = Impaire.