기초수학 - 등식 및 방정식

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1. 등식과 방정식의 기초 등식 : 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식 ($A=B$). 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 성립합니다 (단, 0으로 나누는 것은 제외). 방정식 : 미지수(정해지지 않은 수)를 포함하며, 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식. 미지수를 찾는 것이 목표입니다. 미지수 : 정해지지 않은 문자 (예: $x, y, z$). 2. 문자와 식 문자식의 구성 요소 제곱 (거듭제곱) : 문자가 여러 번 곱해진 형태. 예: $x^2 = x \times x$, $x^3 = x \times x \times x$. 계수 : 문자 앞에 곱해진 숫자. 예: $4x$에서 $4$는 계수. 상수항 : 문자 없이 숫자만 있는 항. 예: $x^2 + 4x + 3$에서 $3$은 상수항. 계산 순서 : 소괄호 $(\,)$, 중괄호 $\{\,\}$, 대괄호 $[\,]$ 순서로 계산합니다. 나눗셈과 분수 : 나눗셈은 분수 형태로 바꿀 수 있습니다. 예: $x \div 4 = \frac{x}{4}$. 곱셈과 분수 : 나눗셈 $A \div B$는 곱셈 $A \times \frac{1}{B}$로 바꿀 수 있습니다. 예: $X \div 3 = X \times \frac{1}{3} = \frac{X}{3}$. 3. 식의 대입 문자 대입 시 규칙 : 문자에 값을 대입할 때는 반드시 괄호를 사용하고 곱하기로 연결합니다. 예: $3x$에서 $x = -\frac{1}{3}$일 때, $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$. 미지수가 여러 개인 함수 : $y = 3x$와 같이 $x, y$ 두 개의 미지수가 있는 식. $x$ 값을 대입하여 $y$ 값을 구할 수 있습니다. 4. 동류항과 분배법칙 동류항 : 문자와 차수가 같은 항. 동류항끼리는 덧셈, 뺄셈이 가능합니다. 예: $2x + 14x = (2+14)x = 16x$. 정리 방법 : 동류항끼리 묶어서 계수를 더하거나 뺍니다. 분배법칙 : 괄호 안의 각 항에 괄호 밖의 수를 곱해주는 규칙. 예: $3x(y+z) = 3xy + 3xz$. 5. 등식의 성질 활용 덧셈/뺄셈 : 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 등식은 성립합니다. 예: $x+8=5 \Rightarrow x+8-8=5-8 \Rightarrow x=-3$. 곱셈/나눗셈 : 등식의 양변에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나눠도 등식은 성립합니다. 예: $\frac{2}{3}x = x-3$ 양변에 $x$를 빼서 동류항끼리 묶습니다: $\frac{2}{3}x - x = -3 \Rightarrow (\frac{2}{3}-1)x = -3 \Rightarrow -\frac{1}{3}x = -3$. 양변에 $-3$을 곱합니다: $(-\frac{1}{3}x) \times (-3) = (-3) \times (-3) \Rightarrow x = 9$. 괄호 처리 : 곱셈/나눗셈 시 전체 식에 괄호를 쳐서 적용해야 합니다. 예: $(3-1) \times 2 = 2 \times 2 = 4$. (만약 $3-1 \times 2$ 라면 $3-2=1$) 0으로 나누기 금지 : 수학에서 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다. 6. 복잡한 식의 정리 (전달함수 예시) 목표 : 주어진 식을 특정 형태(예: $\frac{Y(s)}{X(s)}$)로 정리하는 것. 단계 : 동류항 묶기 : $Ys$와 $Y$가 있다면 $Y(s+1)$로 묶습니다. 분모/분자 정리 : 원하는 형태가 되도록 양변에 적절한 값을 곱하거나 나눕니다. 예시 : $\frac{Ys}{Xs}$ 형태의 식을 정리할 때, $Ys$를 좌변에, $Xs$를 우변에 두고 정리합니다. 주의 : $Ys$는 $Y \times s$가 아니라 $s$에 대한 함수 $Y$를 의미할 수 있습니다 (라플라스 변환 등). 7. 루트(근호)를 포함한 등식 성질 : 등식의 양변에 같은 루트를 씌우거나 곱해도 등식은 성립합니다. 예시 : $\sqrt{2}-1 = 0.1$ 일 때 $x(\sqrt{2}-1) = 0.1$ 에서 $x$를 구하려면 양변을 $(\sqrt{2}-1)$로 나눕니다. $x = \frac{0.1}{\sqrt{2}-1}$. 이는 계산기로 계산할 수 있습니다.