Analisis Numerik

Cheatsheet Content

### Pendahuluan Analisis Numerik adalah studi tentang algoritma yang menggunakan perkiraan numerik (berlawanan dengan manipulasi simbolik umum) untuk masalah analisis matematika. #### Metode Penyelesaian Masalah Matematis - **Metode Analitik:** - Menggunakan rumus-rumus aljabar baku. - Solusi eksak. - Tidak memiliki error. - Tidak dapat diaplikasikan dalam program komputer secara langsung. - Efektif untuk kasus yang sederhana. - **Metode Numerik:** - Memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan aritmatika biasa. - Solusi berupa hampiran/pendekatan. - Memiliki nilai error ### Galat / Error Penyelesaian secara numerik menghasilkan nilai hampiran/pendekatan terhadap nilai eksak. Sehingga hampiran tersebut memiliki kesalahan/galat/error. #### Macam-macam Kesalahan 1. **Kesalahan bawaan:** Kesalahan dari nilai data. Kekeliruan menyalin data, salah membaca skala, atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum fisik dari data yang diukur. 2. **Kesalahan pembulatan:** Tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. - Misal: $1000090 \rightarrow$ dibulatkan menjadi $1000000$ - Misal: $\pi = 3,1415926 \dots \rightarrow$ dibulatkan menjadi $3,14$ 3. **Kesalahan pemotongan:** Tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar, karena mengganti persamaan tak hingga menjadi persamaan berhingga. - Contoh: Deret Taylor untuk $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$ - Jika hanya beberapa suku pertama yang dihitung, akan ada kesalahan. #### Kesalahan Absolut dan Relatif Hubungan nilai eksak ($p$), nilai perkiraan ($p^*$), dan kesalahan ($E_e$) sebagai berikut: $p = p^* + E_e$ $E_e = p - p^*$ Dimana: - $p$ = nilai eksak - $p^*$ = nilai perkiraan - $E_e$ = kesalahan terhadap nilai eksak Tingkat kesalahan dinyatakan dalam bentuk relatif ($\epsilon_e$): $\epsilon_e = \frac{E_e}{p} \times 100\%$ Nilai eksak dapat diketahui jika fungsi bisa diselesaikan secara analitis. **Soal:** Pengukuran panjang tiang pancang dan paku memberikan hasil 999 cm dan 9 cm. Jika nilai eksak adalah 1000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif! **Penyelesaian:** **Kesalahan absolut:** - Tiang: $E_e = 1000 - 999 = 1 \text{ cm}$ - Paku: $E_e = 10 - 9 = 1 \text{ cm}$ **Kesalahan relatif:** - Tiang: $\epsilon_e = \frac{1}{1000} \times 100\% = 0.1\%$ - Paku: $\epsilon_e = \frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$ #### Kesalahan Terhadap Nilai Perkiraan Terbaik Dalam analisis numerik, nilai eksak biasanya tidak diketahui. Sehingga kesalahan dinyatakan berdasar nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak: $\epsilon_a = \frac{E_a}{p^*} \times 100\%$ Dimana: - $p^*$ = nilai perkiraan terbaik - $E_a$ = kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik Untuk pendekatan iteratif, perkiraan sekarang berdasarkan perkiraan sebelumnya: $\epsilon_a = \frac{p^*_{n+1} - p^*_n}{p^*_{n+1}} \times 100\%$ Dimana: - $p^*_n$ = nilai perkiraan pada iterasi ke $n$ - $p^*_{n+1}$ = nilai perkiraan pada iterasi ke $n+1$ **Soal:** Hitung kesalahan dari nilai $e^x$ dengan $x = 0.5$ apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Nilai eksak dari $e^x = 1.648721271$. **Penyelesaian:** **1. Satu suku pertama: $e^x \approx 1$** - $p^* = 1$ - $E_e = 1.648721271 - 1 = 0.648721271$ - $\epsilon_e = \frac{0.648721271}{1.648721271} \times 100\% \approx 39.35\%$ - $\epsilon_a = \text{Tidak dapat dihitung karena hanya 1 iterasi}$ **2. Dua suku pertama: $e^x \approx 1 + x = 1 + 0.5 = 1.5$** - $p^* = 1.5$ - $E_e = 1.648721271 - 1.5 = 0.148721271$ - $\epsilon_e = \frac{0.148721271}{1.648721271} \times 100\% \approx 9.02\%$ - $\epsilon_a = \frac{1.5 - 1}{1.5} \times 100\% \approx 33.33\%$ **3. Tiga suku pertama: $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} = 1 + 0.5 + \frac{0.5^2}{2} = 1 + 0.5 + 0.125 = 1.625$** - $p^* = 1.625$ - $E_e = 1.648721271 - 1.625 = 0.023721271$ - $\epsilon_e = \frac{0.023721271}{1.648721271} \times 100\% \approx 1.44\%$ - $\epsilon_a = \frac{1.625 - 1.5}{1.625} \times 100\% \approx 7.69\%$ #### Batasan Kesalahan Dalam Analisa numerik, nilai kesalahan harus dibatasi dengan kesalahan yang dapat ditoleransi: $\epsilon_a ### Deret Taylor Deret Taylor banyak digunakan dalam metode numerik, terutama untuk penyelesaian persamaan diferensial dan bidang lain. Jika suatu fungsi $f(x)$ diketahui di titik $x_i$ dan semua turunan dari $f$ terhadap $x$ diketahui, dengan deret Taylor dapat dihitung nilai $f$ pada titik $x_{i+1}$ yang berjarak $\Delta x$ dari titik $x_i$. $f(x_{i+1}) = f(x_i) + f'(x_i)\frac{\Delta x}{1!} + f''(x_i)\frac{(\Delta x)^2}{2!} + f'''(x_i)\frac{(\Delta x)^3}{3!} + \dots + f^{(n)}(x_i)\frac{(\Delta x)^n}{n!} + R_n$ Dimana: - $f(x_i)$: fungsi di titik $x_i$ - $f(x_{i+1})$: fungsi di titik $x_{i+1}$ - $f', f'', \dots, f^{(n)}$: turunan pertama, kedua, ..., ke $n$ dari fungsi - $\Delta x$: Langkah ruang, yaitu jarak antara $x_i$ dan $x_{i+1}$ - $R_n$: kesalahan pemotongan (truncation error) #### Kesalahan Pemotongan ($R_n$) $R_n = f^{(n+1)}(\xi)\frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!}$ Dimana $\xi$ adalah suatu nilai antara $x_i$ dan $x_{i+1}$. Kesalahan pemotongan dapat diperkecil apabila: 1. Interval $\Delta x$ kecil. 2. Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor. Deret Taylor yang mempunyai suku sebanyak tak terhingga memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dengan penyelesaian eksaknya. Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. #### Deret Taylor Orde 0 $f(x_{i+1}) \approx f(x_i)$ Kesalahan pemotongan orde 0 adalah $R_0 = O(\Delta x)$. #### Deret Taylor Orde 1 $f(x_{i+1}) \approx f(x_i) + f'(x_i)\frac{\Delta x}{1!}$ Kesalahan pemotongan orde 1 adalah $R_1 = O((\Delta x)^2)$. #### Deret Taylor Orde 2 $f(x_{i+1}) \approx f(x_i) + f'(x_i)\frac{\Delta x}{1!} + f''(x_i)\frac{(\Delta x)^2}{2!}$ Kesalahan pemotongan orde 2 adalah $R_2 = O((\Delta x)^3)$. **Soal:** Diketahui fungsi $f(x) = x^3 - x^2 + 0.5x + 1$. Dengan deret Taylor orde nol, satu, dua, dan tiga, perkirakan fungsi di titik $x_{i+1} = 0.5$ berdasarkan nilai fungsi di titik $x_i = 0$. Titik $x_{i+1} = 0.5$ berada pada jarak $\Delta x = 0.5$ dari titik $x_i = 0$. **Penyelesaian:** Pertama, hitung nilai fungsi dan turunannya pada $x_i = 0$: - $f(x) = x^3 - x^2 + 0.5x + 1 \Rightarrow f(0) = 0^3 - 0^2 + 0.5(0) + 1 = 1$ - $f'(x) = 3x^2 - 2x + 0.5 \Rightarrow f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 0.5 = 0.5$ - $f''(x) = 6x - 2 \Rightarrow f''(0) = 6(0) - 2 = -2$ - $f'''(x) = 6 \Rightarrow f'''(0) = 6$ Nilai eksak $f(0.5)$: $f(0.5) = (0.5)^3 - (0.5)^2 + 0.5(0.5) + 1 = 0.125 - 0.25 + 0.25 + 1 = 1.125$ **1. Deret Taylor Orde 0:** - Perkiraan: $f(x_{i+1}) \approx f(x_i) = f(0) = 1$ - Kesalahan Absolut ($E_e$): $1.125 - 1 = 0.125$ - Kesalahan Relatif ($\epsilon_e$): $\frac{0.125}{1.125} \times 100\% \approx 11.1\%$ **2. Deret Taylor Orde 1:** - Perkiraan: $f(x_{i+1}) \approx f(x_i) + f'(x_i)\Delta x = 1 + 0.5(0.5) = 1 + 0.25 = 1.25$ - Kesalahan Absolut ($E_e$): $1.125 - 1.25 = -0.125$ - Kesalahan Relatif ($\epsilon_e$): $\frac{-0.125}{1.125} \times 100\% \approx -11.1\%$ **3. Deret Taylor Orde 2:** - Perkiraan: $f(x_{i+1}) \approx f(x_i) + f'(x_i)\Delta x + f''(x_i)\frac{(\Delta x)^2}{2!} = 1 + 0.5(0.5) + (-2)\frac{(0.5)^2}{2} = 1 + 0.25 - 0.25 = 1.0$ - Kesalahan Absolut ($E_e$): $1.125 - 1.0 = 0.125$ - Kesalahan Relatif ($\epsilon_e$): $\frac{0.125}{1.125} \times 100\% \approx 11.1\%$ **4. Deret Taylor Orde 3:** - Perkiraan: $f(x_{i+1}) \approx f(x_i) + f'(x_i)\Delta x + f''(x_i)\frac{(\Delta x)^2}{2!} + f'''(x_i)\frac{(\Delta x)^3}{3!} = 1 + 0.5(0.5) + (-2)\frac{(0.5)^2}{2} + (6)\frac{(0.5)^3}{6} = 1 + 0.25 - 0.25 + 0.125 = 1.125$ - Kesalahan Absolut ($E_e$): $1.125 - 1.125 = 0$ - Kesalahan Relatif ($\epsilon_e$): $0\%$ **Tabel Ringkasan:** | Suku | Hasil Perkiraan | $E_e$ (%) | $\epsilon_a$ (%) | |------|-----------------|-----------|------------------| | Eksak| 1.125 | - | - | | Orde 0 | 1.000 | 11.1 | - | | Orde 1 | 1.250 | -11.1 | 20.0 | | Orde 2 | 1.000 | 11.1 | 25.0 | | Orde 3 | 1.125 | 0.0 | 11.1 | *Catatan: $\epsilon_a$ dihitung dengan $p^*_{n+1}$ sebagai perkiraan saat ini dan $p^*_n$ sebagai perkiraan sebelumnya. Misalnya untuk Orde 1, $\epsilon_a = \frac{|1.25-1.0|}{1.25} \times 100\% = 20\%$. Untuk Orde 3, $\epsilon_a = \frac{|1.125-1.0|}{1.125} \times 100\% \approx 11.1\%$. #### Visualisasi Perkiraan Fungsi dengan Deret Taylor (Grafik menunjukkan bagaimana perkiraan mendekati nilai eksak seiring peningkatan orde Taylor) ### Interpolasi Interpolasi adalah metode untuk mencari nilai suatu variabel pada rentang data yang diketahui. #### Penggunaan Interpolasi - **Contoh Teknik Sipil: Tegangan - Regangan Batang Baja** Misalkan ada data eksperimen tegangan ($\sigma$) vs regangan ($\epsilon$): | i | $\epsilon$ | $\sigma$ | |---|------------|----------| | 1 | 0.0005 | 1800 | | 2 | 0.0013 | 5200 | | 3 | 0.003 | 9000 | | 4 | 0.004 | 12000 | | 5 | 0.0055 | 12000 | | 6 | 0.007 | 10000 | - Untuk menentukan nilai regangan di antara titik 'a' dan 'b' (misal antara i=1 dan i=2), dapat menggunakan interpolasi linier. - Untuk penentuan nilai regangan pada titik 'c' dan 'd' (misal antara i=2 dan i=5) perlu menggunakan interpolasi polinomial. #### Interpolasi vs Ekstrapolasi - **Interpolasi:** Metode untuk mencari nilai suatu variabel **pada rentang data yang diketahui**. (Diagram menunjukkan titik yang dicari berada di dalam rentang $x_1$ sampai $x_4$) - **Ekstrapolasi:** Metode untuk mencari nilai suatu variabel **di luar rentang data yang diketahui**. (Diagram menunjukkan titik yang dicari berada di luar rentang $x_1$ sampai $x_4$) #### Metode Interpolasi 1. Interpolasi dengan metode Langsung 2. Interpolasi dengan metode Newton 3. Interpolasi dengan metode Lagrange 4. Interpolasi Spline ### Interpolasi dengan Metode Langsung Interpolasi metode langsung didasarkan pada fungsi polinomial berikut: $y = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ - Untuk mencari fungsi polinomial orde ke $n$ diperlukan $n+1$ titik data. - $a_0, a_1, \dots, a_n$ adalah konstanta dan $x$ adalah variabel. - Untuk mendapatkan konstanta-konstanta $a_0, a_1, \dots, a_n$ diselesaikan sistem persamaan linier. - Untuk mendapatkan persamaan interpolasi dapat menggunakan interpolasi linier jika menggunakan 2 titik data, untuk interpolasi kuadrat diperlukan 3 titik data, demikian seterusnya. #### Interpolasi Langsung Orde Satu (Linier) Persamaan polinomial orde satu: $f_1(x) = a_0 + a_1x$ **Soal:** Apabila diketahui 2 titik yang berdekatan pada hasil pembebanan yaitu $(s=13; p=5200)$ dan $(s=30; p=9000)$. Tentukan besar beban yang memberikan penurunan sebesar 20 cm. **Penyelesaian:** Berdasarkan persamaan interpolasi langsung orde satu, hubungan beban-penurunan dapat ditulis ulang sebagai berikut: $p = a_0 + a_1s$ Aplikasi persamaan di atas ke 2 titik yang diketahui adalah: 1. $5200 = a_0 + a_1 \cdot 13$ 2. $9000 = a_0 + a_1 \cdot 30$ Dua persamaan dapat ditulis dalam perkalian matriks: $\begin{pmatrix} 1 & 13 \\ 1 & 30 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5200 \\ 9000 \end{pmatrix}$ Penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah: $a_0 = 2294.11$ $a_1 = 223.53$ Persamaan linier menjadi: $p = 2294.11 + 223.53s$ Maka untuk beban pada nilai penurunan sebesar 20 cm ($s=20$): $p = 2294.11 + 223.53 \cdot 20 = 2294.11 + 4470.6 = 6764.71 \text{ kg}$ #### Interpolasi Langsung Orde Dua (Kuadratik) Persamaan polinomial orde dua: $f_2(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$ **Soal:** Apabila diketahui 3 titik yang berdekatan pada hasil pembebanan yaitu $(s=5; p=1800)$, $(s=13; p=5200)$ dan $(s=30; p=9000)$. Tentukan besar beban yang memberikan penurunan sebesar 20 cm. **Penyelesaian:** Berdasarkan persamaan interpolasi langsung orde dua, hubungan beban-penurunan dapat ditulis ulang sebagai berikut: $p = a_0 + a_1s + a_2s^2$ Aplikasi persamaan di atas ke 3 titik yang diketahui adalah: 1. $1800 = a_0 + a_1 \cdot 5 + a_2 \cdot 5^2$ 2. $5200 = a_0 + a_1 \cdot 13 + a_2 \cdot 13^2$ 3. $9000 = a_0 + a_1 \cdot 30 + a_2 \cdot 30^2$ Tiga persamaan dapat ditulis dalam perkalian matriks: $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 25 \\ 1 & 13 & 169 \\ 1 & 30 & 900 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1800 \\ 5200 \\ 9000 \end{pmatrix}$ Penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss adalah: $a_0 = -848.9$ $a_1 = 570.08$ $a_2 = -8.06$ Persamaan linier menjadi: $p = -848.9 + 570.08s - 8.06s^2$ Maka untuk beban pada nilai penurunan sebesar 20 cm ($s=20$): $p = -848.9 + 570.08(20) - 8.06(20)^2 = -848.9 + 11401.6 - 3224 = 7328.7 \text{ kg}$ #### Interpolasi Langsung Orde Tiga (Kubik) Persamaan polinomial orde tiga: $f_3(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$ **Soal:** Apabila diketahui 4 titik yang berdekatan pada hasil pembebanan yaitu $(s=5; p=1800)$, $(s=13; p=5200)$, $(s=30; p=9000)$ dan $(s=40; p=12000)$. Tentukan nilai beban yang memberikan penurunan sebesar 20 cm. **Penyelesaian:** Berdasarkan persamaan interpolasi langsung orde tiga, hubungan beban-penurunan dapat ditulis ulang sebagai berikut: $p = a_0 + a_1s + a_2s^2 + a_3s^3$ Aplikasi persamaan di atas ke 4 titik yang diketahui adalah: 1. $1800 = a_0 + a_1 \cdot 5 + a_2 \cdot 5^2 + a_3 \cdot 5^3$ 2. $5200 = a_0 + a_1 \cdot 13 + a_2 \cdot 13^2 + a_3 \cdot 13^3$ 3. $9000 = a_0 + a_1 \cdot 30 + a_2 \cdot 30^2 + a_3 \cdot 30^3$ 4. $12000 = a_0 + a_1 \cdot 40 + a_2 \cdot 40^2 + a_3 \cdot 40^3$ Empat persamaan dapat ditulis dalam perkalian matriks: $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 25 & 125 \\ 1 & 13 & 169 & 2197 \\ 1 & 30 & 900 & 27000 \\ 1 & 40 & 1600 & 64000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1800 \\ 5200 \\ 9000 \\ 12000 \end{pmatrix}$ Penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss adalah: $a_0 = -1455.61$ $a_1 = 758.32$ $a_2 = -23$ $a_3 = 0.31$ Persamaan linier menjadi: $p = -1455.61 + 758.32s - 23s^2 + 0.31s^3$ Maka untuk beban pada nilai penurunan sebesar 20 cm ($s=20$): $p = -1455.61 + 758.32(20) - 23(20)^2 + 0.31(20)^3 = -1455.61 + 15166.4 - 9200 + 2480 = 7002.09 \text{ kg}$ ### Interpolasi dengan Metode Newton Interpolasi metode Newton diberikan sebagai berikut: $f_n(x) = b_0 + b_1(x - x_0) + b_2(x - x_0)(x - x_1) + \dots + b_n(x - x_0)(x - x_1)\dots(x - x_{n-1})$ Dengan menggunakan $n$ titik data, persamaan di atas digunakan untuk mencari konstanta-konstanta $b_0, b_1, \dots, b_n$: $b_0 = f(x_0)$ $b_1 = f[x_1, x_0]$ (selisih terbagi pertama) $b_2 = f[x_2, x_1, x_0]$ (selisih terbagi kedua) $\dots$ $b_n = f[x_n, x_{n-1}, \dots, x_0]$ (selisih terbagi ke-n) Dimana selisih terbagi didefinisikan sebagai: $f[x_i, x_j] = \frac{f(x_i) - f(x_j)}{x_i - x_j}$ $f[x_i, x_j, x_k] = \frac{f[x_i, x_j] - f[x_j, x_k]}{x_i - x_k}$ #### Interpolasi Metode Newton untuk Interpolasi Linier (Orde Satu) Persamaan Newton untuk interpolasi linier: $f_1(x) = b_0 + b_1(x - x_0)$ Aplikasi persamaan ke $x = x_0$: $f_1(x_0) = f(x_0) = b_0 + b_1(x_0 - x_0) = b_0$ Sehingga $b_0 = f(x_0)$. Aplikasi persamaan ke $x = x_1$: $f_1(x_1) = f(x_1) = b_0 + b_1(x_1 - x_0)$ $f(x_1) = f(x_0) + b_1(x_1 - x_0)$ Maka $b_1 = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$. Substitusi $b_0$ dan $b_1$ ke persamaan awal: $f_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0)$ **Soal:** Apabila diketahui 2 titik yang berdekatan pada hasil pembebanan yaitu $(x=s=13; y=p=5200)$ dan $(x=s=30; y=p=9000)$. Tentukan besar beban yang memberikan penurunan sebesar 20 cm dengan metode Newton untuk interpolasi linier. **Penyelesaian:** - $x_0 = s_0 = 13$, $f(x_0) = p_0 = 5200$ - $x_1 = s_1 = 30$, $f(x_1) = p_1 = 9000$ Hitung konstanta $b_0$ dan $b_1$: $b_0 = f(x_0) = 5200$ $b_1 = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{9000 - 5200}{30 - 13} = \frac{3800}{17} = 223.53$ Persamaan interpolasi linier: $f_1(x) = 5200 + 223.53(x - 13)$ Untuk penurunan sebesar 20 cm ($x=20$): $f_1(20) = 5200 + 223.53(20 - 13) = 5200 + 223.53(7) = 5200 + 1564.71 = 6764.71 \text{ kg}$ (Hasil ini sama dengan metode langsung orde satu, menunjukkan konsistensi metode) #### Interpolasi Metode Newton untuk Interpolasi Kuadrat (Orde Dua) Persamaan Newton untuk interpolasi kuadrat: $f_2(x) = b_0 + b_1(x - x_0) + b_2(x - x_0)(x - x_1)$ Dari interpolasi linier, kita sudah tahu $b_0 = f(x_0)$ dan $b_1 = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$. Sekarang kita cari $b_2$. Aplikasi persamaan ke $x = x_2$: $f_2(x_2) = f(x_2) = b_0 + b_1(x_2 - x_0) + b_2(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)$ $f(x_2) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x_2 - x_0) + b_2(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)$ Rearrange untuk $b_2$: $b_2 = \frac{\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} - \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0}$ Atau dalam notasi selisih terbagi: $b_2 = \frac{f[x_2, x_1] - f[x_1, x_0]}{x_2 - x_0} = f[x_2, x_1, x_0]$ **Soal:** Apabila diketahui 3 titik yang berdekatan pada hasil pembebanan yaitu $(s=5; p=1800)$, $(s=13; p=5200)$ dan $(s=30; p=9000)$. Tentukan besar beban yang memberikan penurunan sebesar 20 cm dengan metode Newton untuk interpolasi kuadrat. **Penyelesaian:** - $x_0 = 5$, $f(x_0) = 1800$ - $x_1 = 13$, $f(x_1) = 5200$ - $x_2 = 30$, $f(x_2) = 9000$ Hitung konstanta $b_0, b_1, b_2$: $b_0 = f(x_0) = 1800$ $f[x_1, x_0] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{5200 - 1800}{13 - 5} = \frac{3400}{8} = 425$ $b_1 = 425$ $f[x_2, x_1] = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{9000 - 5200}{30 - 13} = \frac{3800}{17} = 223.53$ $b_2 = \frac{f[x_2, x_1] - f[x_1, x_0]}{x_2 - x_0} = \frac{223.53 - 425}{30 - 5} = \frac{-201.47}{25} = -8.0588$ (Perbedaan kecil dengan metode langsung karena pembulatan) Persamaan interpolasi kuadrat: $f_2(x) = 1800 + 425(x - 5) - 8.0588(x - 5)(x - 13)$ Untuk penurunan sebesar 20 cm ($x=20$): $f_2(20) = 1800 + 425(20 - 5) - 8.0588(20 - 5)(20 - 13)$ $f_2(20) = 1800 + 425(15) - 8.0588(15)(7)$ $f_2(20) = 1800 + 6375 - 846.174$ $f_2(20) = 7328.826 \text{ kg}$ (Hasil ini sangat dekat dengan metode langsung orde dua, perbedaan karena pembulatan $a_2/b_2$)