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सरल रेखा में गति (Motion in a Straight Line) यह अध्याय उन वस्तुओं की गति से संबंधित है जो एक सीधी रेखा में चलती हैं। इसे एक-विमीय गति भी कहते हैं। मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts) स्थिति (Position): किसी वस्तु की स्थिति को एक मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है। अक्सर $x$-अक्ष का उपयोग किया जाता है। दूरी (Distance): तय किए गए पथ की कुल लंबाई। यह एक अदिश राशि (scalar quantity) है और हमेशा धनात्मक होती है। विस्थापन (Displacement): प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की सबसे छोटी सीधी दूरी। यह एक सदिश राशि (vector quantity) है और धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती है। $\Delta x = x_f - x_i$ औसत चाल (Average Speed): कुल दूरी / कुल समय। $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ औसत वेग (Average Velocity): कुल विस्थापन / कुल समय। $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} = \frac{\vec{x}_f - \vec{x}_i}{t_f - t_i}$ तात्क्षणिक वेग (Instantaneous Velocity): किसी विशेष क्षण पर वेग। यह स्थिति-समय ग्राफ की ढलान है। $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$ तात्क्षणिक चाल (Instantaneous Speed): तात्क्षणिक वेग का परिमाण। $|v|$ औसत त्वरण (Average Acceleration): वेग में परिवर्तन / कुल समय। $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{t_f - t_i}$ तात्क्षणिक त्वरण (Instantaneous Acceleration): किसी विशेष क्षण पर त्वरण। यह वेग-समय ग्राफ की ढलान है। $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ एकसमान त्वरण के लिए गति के समीकरण (Equations of Motion for Uniform Acceleration) यदि त्वरण स्थिर (constant) है, तो निम्नलिखित समीकरण लागू होते हैं: $v = u + at$ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $v^2 = u^2 + 2as$ $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ (n-वें सेकंड में तय की गई दूरी) जहां: $u$ = प्रारंभिक वेग (initial velocity) $v$ = अंतिम वेग (final velocity) $a$ = त्वरण (acceleration) $t$ = समय (time) $s$ = विस्थापन (displacement) $s_n$ = n-वें सेकंड में विस्थापन गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति (Motion Under Gravity) मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए, त्वरण $a = -g$ (यदि ऊपर की दिशा धनात्मक ली जाए) या $a = +g$ (यदि नीचे की दिशा धनात्मक ली जाए)। पृथ्वी पर $g \approx 9.8 \, m/s^2$ है। $v = u - gt$ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ $v^2 = u^2 - 2gh$ अधिकतम ऊंचाई ($H_{max}$): जब $v=0$, तो $H_{max} = \frac{u^2}{2g}$ उड़ान का समय ($T_{flight}$): जब वस्तु प्रारंभिक बिंदु पर वापस आती है, तो $h=0$, $T_{flight} = \frac{2u}{g}$ ग्राफिकल विश्लेषण (Graphical Analysis) ग्राफ ढलान (Slope) क्षेत्रफल (Area) स्थिति-समय (x-t) वेग ($v = \frac{dx}{dt}$) कोई भौतिक महत्व नहीं वेग-समय (v-t) त्वरण ($a = \frac{dv}{dt}$) विस्थापन ($\Delta x = \int v \, dt$) त्वरण-समय (a-t) कोई भौतिक महत्व नहीं वेग में परिवर्तन ($\Delta v = \int a \, dt$) x-t ग्राफ t x स्थिर वेग ($v v-t ग्राफ t v स्थिर त्वरण ($a अवकलन और समाकलन का उपयोग (Use of Differentiation and Integration) $v = \frac{dx}{dt}$ $a = \frac{dv}{dt}$ $a = v \frac{dv}{dx}$ (समय के बजाय स्थिति के फलन के रूप में त्वरण के लिए) $x(t) = \int v(t) dt$ $v(t) = \int a(t) dt$ $\int_{x_i}^{x_f} dx = \int_{t_i}^{t_f} v(t) dt \implies \Delta x = \int_{t_i}^{t_f} v(t) dt$ $\int_{v_i}^{v_f} dv = \int_{t_i}^{t_f} a(t) dt \implies \Delta v = \int_{t_i}^{t_f} a(t) dt$ सापेक्ष गति (Relative Motion) वस्तु A के सापेक्ष वस्तु B का वेग: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ $v_{BA} = v_B - v_A$ (यदि एक ही दिशा में) $v_{BA} = v_B + v_A$ (यदि विपरीत दिशा में) वस्तु A के सापेक्ष वस्तु B की स्थिति: $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$ वस्तु A के सापेक्ष वस्तु B का त्वरण: $\vec{a}_{BA} = \vec{a}_B - \vec{a}_A$ महत्वपूर्ण नोट्स (Important Notes) सदिश राशियों के साथ काम करते समय दिशाओं का ध्यान रखें। एक दिशा को धनात्मक और विपरीत दिशा को ऋणात्मक मानें। यदि कोई वस्तु वापस अपनी प्रारंभिक स्थिति में आ जाती है, तो उसका विस्थापन शून्य होता है, लेकिन दूरी शून्य नहीं होती। यदि कोई वस्तु स्थिर वेग से चल रही है, तो उसका त्वरण शून्य होता है। यदि त्वरण स्थिर नहीं है, तो गति के समीकरण ($v=u+at$ आदि) लागू नहीं होते हैं। ऐसे मामलों में अवकलन और समाकलन का उपयोग करें। संख्यात्मक प्रश्न हल करने की रणनीति (Strategy for Solving Numerical Problems) भौतिकी में संख्यात्मक समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण महत्वपूर्ण है। चरण 1: समस्या को समझना (Understand the Problem) समस्या को ध्यान से पढ़ें: सुनिश्चित करें कि आप सभी शब्दों और अवधारणाओं को समझते हैं। क्या दिया गया है पहचानें (Given): सभी ज्ञात मात्राओं को सूचीबद्ध करें। उनके प्रतीकों (symbols) और इकाइयों (units) को लिखें। क्या खोजना है पहचानें (To Find): वह मात्रा या मात्राएँ लिखें जिन्हें आपको निर्धारित करना है। एक चित्र बनाएं: यदि संभव हो, तो एक साधारण आरेख या स्केच बनाएं। यह आपको भौतिक स्थिति की कल्पना करने में मदद करेगा और दिशाओं को स्पष्ट करेगा। चिह्न परिपाटी (Sign Convention) तय करें: धनात्मक और ऋणात्मक दिशाओं के लिए एक सुसंगत परिपाटी स्थापित करें (उदाहरण के लिए, ऊपर/दाएं धनात्मक, नीचे/बाएं ऋणात्मक)। चरण 2: उपयुक्त सूत्र और सिद्धांत चुनें (Choose Appropriate Formulas and Principles) उपलब्ध जानकारी का विश्लेषण करें: दी गई और अज्ञात मात्राओं को देखें। प्रासंगिक भौतिकी सिद्धांतों और सूत्रों को याद करें: गति के समीकरण, परिभाषाएँ (वेग, त्वरण), आदि। सूत्रों का चयन करें: ऐसे सूत्र चुनें जिनमें दी गई और अज्ञात मात्राएँ शामिल हों। कभी-कभी आपको एक से अधिक सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। चरण 3: हल करना (Solve) इकाइयों को परिवर्तित करें: सुनिश्चित करें कि सभी मात्राएँ एक सुसंगत इकाई प्रणाली (जैसे SI इकाई) में हों। यदि नहीं, तो उन्हें परिवर्तित करें। समीकरणों को व्यवस्थित करें: यदि आवश्यक हो, तो अज्ञात मात्रा के लिए हल करने के लिए समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें। मानों को प्रतिस्थापित करें: ज्ञात मानों को सूत्रों में प्रतिस्थापित करें। गणना करें: सटीकता के साथ गणना करें। मध्यवर्ती चरणों को नोट करें। चरण 4: उत्तर की जाँच करें (Check the Answer) इकाइयों की जाँच करें: सुनिश्चित करें कि अंतिम उत्तर की इकाइयाँ अपेक्षित मात्रा के अनुरूप हैं। परिमाण की जाँच करें: क्या उत्तर का परिमाण यथार्थवादी है? क्या यह बहुत बड़ा या बहुत छोटा है? दिशा की जाँच करें: यदि उत्तर एक सदिश राशि है, तो क्या दिशा भौतिक स्थिति के अनुरूप है? पुनः गणना करें: यदि संदेह है, तो गणनाओं को दोहराएं या किसी भिन्न तरीके से जांचें। उदाहरण समस्या (Example Problem) एक कार $20 \, m/s$ के प्रारंभिक वेग से चलना शुरू करती है और $4 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ $10$ सेकंड तक चलती है। a) $10$ सेकंड के बाद कार का अंतिम वेग क्या होगा? b) इस समय में कार कितनी दूरी तय करेगी? हल: चरण 1: समस्या को समझना दिया गया: प्रारंभिक वेग ($u$) $= 20 \, m/s$ त्वरण ($a$) $= 4 \, m/s^2$ समय ($t$) $= 10 \, s$ खोजना है: a) अंतिम वेग ($v$) b) दूरी ($s$) चित्र: (एक सीधी रेखा में चलती कार की कल्पना करें) चिह्न परिपाटी: गति की दिशा को धनात्मक मानें। चरण 2: उपयुक्त सूत्र और सिद्धांत चुनें एकसमान त्वरण के लिए गति के समीकरण लागू होंगे। a) अंतिम वेग के लिए: $v = u + at$ b) दूरी के लिए: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ चरण 3: हल करना a) अंतिम वेग ($v$): $v = u + at$ $v = 20 \, m/s + (4 \, m/s^2)(10 \, s)$ $v = 20 \, m/s + 40 \, m/s$ $v = 60 \, m/s$ b) दूरी ($s$): $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $s = (20 \, m/s)(10 \, s) + \frac{1}{2}(4 \, m/s^2)(10 \, s)^2$ $s = 200 \, m + \frac{1}{2}(4 \, m/s^2)(100 \, s^2)$ $s = 200 \, m + 200 \, m$ $s = 400 \, m$ चरण 4: उत्तर की जाँच करें a) अंतिम वेग की इकाई $m/s$ है, जो सही है। $20 \, m/s$ से शुरू होकर $4 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ $10 \, s$ तक चलने पर $60 \, m/s$ का वेग यथार्थवादी लगता है। b) दूरी की इकाई $m$ है, जो सही है। $400 \, m$ की दूरी भी यथार्थवादी लगती है।