Electromagnetismo Covariante

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### Introducción a la Formulación Covariante La formulación covariante del electromagnetismo es una descripción del campo electromagnético que es explícitamente consistente con la relatividad especial. Esto significa que las ecuaciones de Maxwell y las leyes de fuerza se escriben de una manera que su forma es idéntica en todos los marcos de referencia inerciales. #### Principios Clave - **Cuadrivectores:** Magnitudes físicas que se transforman como los vectores de espacio-tiempo bajo transformaciones de Lorentz. - **Tensores:** Objetos matemáticos que generalizan escalares, vectores y operadores lineales, y que se transforman de manera específica bajo cambios de coordenadas. - **Covarianza de Lorentz:** Las leyes físicas deben tener la misma forma matemática en todos los marcos de referencia inerciales. ### Cuadrivectores y Tensores Fundamentales #### Cuadrivector de Posición $$x^\mu = (ct, x, y, z) = (ct, \vec{r})$$ donde $c$ es la velocidad de la luz y $t$ es el tiempo. #### Métrica de Minkowski La métrica de Minkowski, $\eta_{\mu\nu}$, se usa para subir y bajar índices. $$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ (Usando la convención $(-,+,+,+)$) - $x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu$ #### Cuadrivector de Corriente Describe la densidad de carga y la densidad de corriente. $$J^\mu = (c\rho, \vec{j})$$ donde $\rho$ es la densidad de carga y $\vec{j}$ es la densidad de corriente. #### Cuadrivector Potencial Combina el potencial escalar eléctrico y el potencial vectorial magnético. $$A^\mu = (\frac{\phi}{c}, \vec{A})$$ donde $\phi$ es el potencial eléctrico y $\vec{A}$ es el potencial vectorial magnético. ### Tensor Campo Electromagnético ($F^{\mu\nu}$) El tensor de campo electromagnético es un tensor antisimétrico de rango 2 que combina los campos eléctrico ($\vec{E}$) y magnético ($\vec{B}$). $$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$$ En términos de componentes: $$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} $$ El tensor dual $G^{\mu\nu}$ (o $F^{*\mu\nu}$) es: $$ G^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma} = \begin{pmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{pmatrix} $$ donde $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ es el tensor de Levi-Civita. ### Ecuaciones de Maxwell Covariantes Las cuatro ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en solo dos ecuaciones tensoriales. #### Ecuaciones Heterogéneas (con fuentes) $$ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu $$ Esta ecuación unifica la ley de Gauss para el campo eléctrico y la ley de Ampère-Maxwell. - Para $\nu=0$: $\partial_i F^{i0} = \mu_0 J^0 \implies \vec{\nabla} \cdot \vec{E}/\mu_0 c^2 = \rho \implies \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho$ - Para $\nu=i$: $\partial_0 F^{0i} + \partial_j F^{ji} = \mu_0 J^i \implies -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j}$ (con $c^2 = 1/\epsilon_0\mu_0$) #### Ecuaciones Homogéneas (sin fuentes) $$ \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 $$ Esta ecuación unifica la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday. Alternativamente, usando el tensor dual: $$ \partial_\mu G^{\mu\nu} = 0 $$ ### Fuerza de Lorentz Covariante La fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada se puede expresar en términos de un cuadrivector de fuerza. #### Cuadrivector de Fuerza $$ f^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau} $$ donde $p^\mu$ es el cuadrimomento y $\tau$ es el tiempo propio. #### Ecuación de la Fuerza de Lorentz $$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu $$ donde $q$ es la carga de la partícula y $u_\nu$ es el cuadrivelocidad de la partícula. - $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(c, \vec{v})$ ### Lagrangiano y Hamiltoniano #### Densidad Lagrangiana para el Campo La densidad Lagrangiana para el campo electromagnético libre es: $$ \mathcal{L}_{EM} = -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} $$ Con fuentes, es: $$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu $$ Las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a $A^\mu$ recuperan las ecuaciones de Maxwell. #### Tensor de Energía-Momento El tensor de energía-momento electromagnético $T^{\mu\nu}$ describe la densidad de energía, el flujo de energía (vector de Poynting) y las tensiones en el campo. $$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\lambda} F^\nu_{\ \lambda} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right) $$ - $T^{00}$ es la densidad de energía electromagnética. - $T^{0i}$ son los componentes del vector de Poynting dividido por $c$. - $T^{ij}$ son los componentes del tensor de tensiones de Maxwell. #### Ley de Conservación La conservación de la energía y el momento se expresa como: $$ \partial_\mu T^{\mu\nu} = -F^{\nu\lambda} J_\lambda $$ (Esto es la ecuación de continuidad para el tensor de energía-momento, igual a la fuerza de Lorentz por unidad de volumen.)