Lugar Geométrico de Raíces

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### Propiedades y Reglas para el Trazado del LGR Para trazar el LGR de un sistema, se siguen una serie de reglas basadas en las propiedades de los polos y ceros de lazo abierto. #### 1. Puntos Iniciales y Finales del LGR ($K=0$ y $K=\infty$) - El LGR **parte de los polos de lazo abierto** de $G(s)H(s)$ cuando $K=0$. - El LGR **termina en los ceros de lazo abierto** de $G(s)H(s)$ (finitos o en $\infty$) cuando $K=\infty$. #### 2. Número de Ramas del LGR - Para un sistema de orden $n$, el LGR tiene $n$ ramas. - Cada rama representa el camino de un polo de lazo cerrado. - Si hay $m$ ceros finitos y $n$ polos finitos: - $m$ ramas terminarán en ceros finitos. - $(n-m)$ ramas terminarán en ceros en el infinito. #### 3. Simetría del LGR - El LGR es **simétrico respecto al eje real** del plano $s$. - Las raíces de la ecuación característica son reales o complejas conjugadas. Por lo tanto, solo es necesario trazar la mitad superior del plano $s$ y reflejarla para obtener el LGR completo. #### 4. LGR en el Eje Real - Un punto en el eje real pertenece al LGR si la suma del número de polos y ceros de lazo abierto a su derecha (en el mismo eje real) es **impar**. - **Procedimiento Detallado:** 1. Marca todos los polos (X) y ceros (O) de lazo abierto en el eje real. 2. Comienza desde el extremo derecho del eje real y muévete hacia la izquierda. 3. Cada vez que cruces un polo o un cero, cuenta el número total de polos y ceros a tu derecha. 4. Si el conteo es impar, el segmento del eje real a tu izquierda (hasta el siguiente polo/cero) es parte del LGR. Si es par, no lo es. - **Ejemplo Práctico:** Para $G(s)H(s) = \frac{K(s+1)(s+4)(s+5)}{s(s+2)(s+3)}$ - **Polos de lazo abierto:** $p_1=0$, $p_2=-2$, $p_3=-3$ - **Ceros de lazo abierto:** $z_1=-1$, $z_2=-4$, $z_3=-5$ 1. **Marcar en el eje real:** O--X--O--X--X--O -5 -4 -3 -2 -1 0 2. **Análisis por segmentos:** - **A la derecha de 0:** No hay polos/ceros a la derecha. Conteo = 0 (par). NO es parte del LGR. - **Entre 0 y -1:** A la derecha de cualquier punto en este segmento está P1 (0). Conteo = 1 (impar). SÍ es parte del LGR. - **Entre -1 y -2:** A la derecha de cualquier punto en este segmento están Z1 (-1) y P1 (0). Conteo = 2 (par). NO es parte del LGR. - **Entre -2 y -3:** A la derecha de cualquier punto en este segmento están P2 (-2), Z1 (-1) y P1 (0). Conteo = 3 (impar). SÍ es parte del LGR. - **Entre -3 y -4:** A la derecha de cualquier punto en este segmento están P3 (-3), P2 (-2), Z1 (-1) y P1 (0). Conteo = 4 (par). NO es parte del LGR. - **Entre -4 y -5:** A la derecha de cualquier punto en este segmento están Z2 (-4), P3 (-3), P2 (-2), Z1 (-1) y P1 (0). Conteo = 5 (impar). SÍ es parte del LGR. - **A la izquierda de -5:** A la derecha de cualquier punto en este segmento están Z3 (-5), Z2 (-4), P3 (-3), P2 (-2), Z1 (-1) y P1 (0). Conteo = 6 (par). NO es parte del LGR. - **Conclusión:** Los segmentos del LGR en el eje real son: $(-1, 0)$, $(-3, -2)$ y $(-5, -4)$. #### 5. Asíntotas del LGR (Para $n \neq m$) - Si hay más polos que ceros ($n > m$), algunas ramas del LGR se extienden al infinito. - Estas ramas se aproximan a asíntotas. - El número de asíntotas es $n-m$. - **Punto de Intersección (Centroide) de las Asíntotas ($\sigma_a$):** $$\sigma_a = \frac{\sum \text{polos finitos} - \sum \text{ceros finitos}}{n - m}$$ - Este punto siempre está en el eje real. - **Ángulos de las Asíntotas ($\phi_a$):** $$\phi_a = \frac{(2q + 1)180^\circ}{n - m}$$ donde $q = 0, 1, 2, \ldots, n - m - 1$. - **Ejemplo:** $G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}$ - Polos: $0, -1, -2$ (n=3) - Ceros: No hay (m=0) - Número de asíntotas: $n-m = 3-0=3$. - Centroide: $\sigma_a = \frac{(0 + (-1) + (-2)) - 0}{3-0} = \frac{-3}{3} = -1$. - Ángulos: - $q=0: \phi_0 = \frac{(2(0)+1)180^\circ}{3} = 60^\circ$ - $q=1: \phi_1 = \frac{(2(1)+1)180^\circ}{3} = 180^\circ$ - $q=2: \phi_2 = \frac{(2(2)+1)180^\circ}{3} = 300^\circ$ o $-60^\circ$ #### 6. Puntos de Ruptura (Breakaway/Break-in Points) - Son los puntos en el eje real donde el LGR se rompe del eje o entra en él. - Corresponden a raíces múltiples de la ecuación característica. - Se encuentran resolviendo $\frac{d K}{d s} = 0$, o más convenientemente, $\frac{d}{ds} \left( \frac{1}{G(s)H(s)} \right) = 0$. - **Procedimiento:** 1. Escribe la ecuación característica $1 + K G(s)H(s) = 0$. 2. Despeja $K$: $K = -\frac{1}{G(s)H(s)}$. 3. Calcula $\frac{dK}{ds}$. 4. Iguala $\frac{dK}{ds} = 0$ y resuelve para $s$. 5. Solo los valores de $s$ que se encuentran en un segmento válido del LGR en el eje real son puntos de ruptura (o de entrada). Además, para que sean válidos, el valor de $K$ para ese punto debe ser real y positivo ($K > 0$). - **Ejemplo:** $G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}$ 1. $1 + \frac{K}{s(s+1)(s+2)} = 0 \implies K = -s(s+1)(s+2)$ 2. $K = -(s^3 + 3s^2 + 2s)$ 3. $\frac{dK}{ds} = -(3s^2 + 6s + 2)$ 4. $3s^2 + 6s + 2 = 0$ 5. Valores de $s$: $s = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ - $s_1 \approx -0.4226$ - $s_2 \approx -1.5774$ 6. Recordando que el LGR en el eje real está entre $(0, -1)$ y $(-2, -\infty)$. - $s_1 \approx -0.4226$ está en el segmento $(-1, 0)$, que es parte del LGR. Es un punto de ruptura. - $s_2 \approx -1.5774$ **no** está en un segmento válido del LGR en el eje real. Por lo tanto, no es un punto de ruptura. - En $s_1 = -0.4226$, $K = -(-0.4226)(-0.4226+1)(-0.4226+2) = -(-0.4226)(0.5774)(1.5774) \approx 0.385$. (Positivo y real, válido). #### 7. Intersección con el Eje Imaginario ($j\omega$) - El LGR puede cruzar el eje imaginario, lo que indica la estabilidad del sistema (margen de estabilidad). - Los cruces corresponden a puntos donde el sistema oscila de forma sostenida (margen de ganancia cero). - Se encuentran usando el **Criterio de Routh-Hurwitz**. - **Procedimiento:** 1. Escribe la ecuación característica $1 + K G(s)H(s) = 0$. 2. Forma la tabla de Routh. 3. Encuentra el valor de $K$ para el cual se forma una fila de ceros o para el cual el primer elemento de una fila se hace cero. Esto indica oscilaciones. 4. Si hay una fila de ceros, forma la ecuación auxiliar $A(s)$ con la fila inmediatamente superior en la tabla de Routh. 5. Las raíces de $A(s) = 0$ serán las intersecciones con el eje $j\omega$. Si no hay una fila de ceros, sino que el primer elemento de una fila se hace cero, la intersección es 0 (si la primera columna de la siguiente fila es toda cero) o el sistema se vuelve inestable directamente (si no hay fila de ceros). - **Ejemplo:** $G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}$ 1. Ecuación característica: $s(s+1)(s+2) + K = 0 \implies s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$ 2. Tabla de Routh: | $s^3$ | 1 | 2 | |---|---|---| | $s^2$ | 3 | K | | $s^1$ | $\frac{3(2) - 1(K)}{3} = \frac{6-K}{3}$ | 0 | | $s^0$ | K | 0 | 3. Para estabilidad, todos los elementos de la primera columna deben ser positivos. - $K > 0$ - $\frac{6-K}{3} > 0 \implies 6-K > 0 \implies K