확률 문제 풀이

Cheatsheet Content

### 문제 1.1-8 랜덤 노이즈 전압은 -10V에서 10V까지의 값을 가질 수 있습니다. (a) 노이즈 전압을 설명하는 전체 집합은 무엇입니까? (b) 선형 출력-입력 전압 특성을 갖는 반파 정류기에서 사용할 수 있는 양의 전압을 설명하는 집합을 찾으십시오. (c) 랜덤 노이즈에 -3V의 직류 전압이 추가된 경우 (a) 및 (b)를 반복하십시오. #### 풀이 (a) **전체 집합 (Universal Set):** $S = \{v \mid -10 \le v \le 10\}$ 또는 $[-10, 10]$ (b) **반파 정류기 전압:** 반파 정류기는 음의 전압을 제거하고 양의 전압만 통과시킵니다. 따라서 $\text{output} = \max(0, \text{input})$. $V_{rectified} = \{v \mid 0 \le v \le 10\}$ 또는 $[0, 10]$ (c) **-3V 직류 전압 추가:** - **(a) 전체 집합:** 각 전압 값에 -3V가 더해지므로, 범위는 $[-10-3, 10-3] = [-13, 7]$이 됩니다. $S' = \{v \mid -13 \le v \le 7\}$ 또는 $[-13, 7]$ - **(b) 반파 정류기 전압:** 입력 범위가 $[-13, 7]$이므로, 양의 전압은 $0$에서 $7$까지입니다. $V'_{rectified} = \{v \mid 0 \le v \le 7\}$ 또는 $[0, 7]$ ### 문제 1.1-10 집합 $A$는 세 개의 원소 $a_1, a_2, a_3$를 가집니다. $A$의 모든 가능한 부분집합을 구하십시오. #### 풀이 집합 $A = \{a_1, a_2, a_3\}$의 부분집합은 다음과 같습니다. 1. 공집합: $\emptyset$ 2. 원소 1개짜리 부분집합: $\{a_1\}, \{a_2\}, \{a_3\}$ 3. 원소 2개짜리 부분집합: $\{a_1, a_2\}, \{a_1, a_3\}, \{a_2, a_3\}$ 4. 원소 3개짜리 부분집합: $\{a_1, a_2, a_3\}$ 총 $2^3 = 8$개의 부분집합이 있습니다. ### 문제 1.2-4 세 개의 집합 A, B, C에 대해 다음 집합에 해당하는 영역을 벤 다이어그램에 음영 처리하십시오. (a) $(A \cup B) - C$ (b) $B \cap \bar{A}$ (c) $A \cap B \cap C$ (d) $(\overline{A \cup B}) \cap C$ #### 풀이 (a) **$(A \cup B) - C$**: - $A \cup B$: A와 B의 합집합. - $(A \cup B) - C$: A와 B의 합집합에서 C에 속하는 부분을 제외한 영역. - (벤 다이어그램에서 A와 B의 합집합 중 C와 겹치지 않는 영역을 음영 처리) (b) **$B \cap \bar{A}$**: - $\bar{A}$: A의 여집합 (A에 속하지 않는 모든 것). - $B \cap \bar{A}$: B에 속하면서 A에 속하지 않는 영역 (즉, B에서 A를 제외한 영역). - (벤 다이어그램에서 B 중 A와 겹치지 않는 영역을 음영 처리) (c) **$A \cap B \cap C$**: - $A \cap B \cap C$: A, B, C 세 집합 모두에 공통으로 속하는 영역. - (벤 다이어그램에서 A, B, C 세 원이 모두 겹치는 중앙 영역을 음영 처리) (d) **$(\overline{A \cup B}) \cap C$**: - $A \cup B$: A와 B의 합집합. - $\overline{A \cup B}$: A와 B의 합집합의 여집합 (A에도 B에도 속하지 않는 모든 것). - $(\overline{A \cup B}) \cap C$: A에도 B에도 속하지 않으면서 C에 속하는 영역. - (벤 다이어그램에서 C 중 A와 B의 합집합과 겹치지 않는 영역을 음영 처리) ### 문제 1.2-6 벤 다이어그램을 사용하여 다음 항등식이 참임을 보이십시오. (a) $\overline{(A \cup B) \cap C} = C - [(A \cap C) \cup (B \cap C)]$ (b) $(A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$ (c) $\overline{(A \cap B \cap C)} = \bar{A} \cup \bar{B} \cup \bar{C}$ #### 풀이 (a) **$\overline{(A \cup B) \cap C} = C - [(A \cap C) \cup (B \cap C)]$** - 좌변: $\overline{(A \cup B) \cap C}$ - $(A \cup B) \cap C$: C 중 A 또는 B와 겹치는 영역. - $\overline{(A \cup B) \cap C}$: 이 영역을 제외한 모든 영역 (전체 집합에서 $(A \cup B) \cap C$를 뺀 영역). - 우변: $C - [(A \cap C) \cup (B \cap C)]$ - $(A \cap C)$: A와 C의 교집합. - $(B \cap C)$: B와 C의 교집합. - $(A \cap C) \cup (B \cap C)$: C 중 A 또는 B와 겹치는 영역. - $C - [(A \cap C) \cup (B \cap C)]$: C에서 A 또는 B와 겹치는 부분을 제외한 영역 (즉, C에만 속하는 영역). - **결론:** 좌변과 우변이 다릅니다. 문제에 오류가 있거나, 좌변이 $\overline{(A \cup B)} \cap C$ 또는 다른 형태로 의도된 것으로 보입니다. 주어진 대로라면 항등식이 성립하지 않습니다. (원래 문제의 $\overline{(A \cup B) \cap C}$는 드 모르간 법칙을 적용하면 $\overline{(A \cup B)} \cup \bar{C}$가 됩니다) - **수정된 문제 (아마도 의도된 문제):** $C - [(A \cap C) \cup (B \cap C)]$ - 이는 C에 속하지만 A에도 B에도 속하지 않는 영역을 의미합니다. 즉, C에만 속하는 영역입니다. (b) **$(A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$** - 좌변: $(A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C)$ - $A \cup B \cup C$: A, B, C의 모든 원소를 포함하는 영역. - $A \cap B \cap C$: A, B, C 모두에 속하는 중앙 영역. - 좌변은 A, B, C의 합집합에서 세 집합의 공통 부분을 제외한 영역을 나타냅니다. - 우변: $(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$ - $(A \cap B)$: A와 B의 교집합. - $(B \cap C)$: B와 C의 교집합. - $(C \cap A)$: C와 A의 교집합. - 우변은 두 집합이 겹치는 모든 영역의 합집합을 나타냅니다. 이 영역에는 세 집합이 겹치는 중앙 영역이 포함됩니다. - **결론:** 좌변은 세 집합의 합집합에서 중앙의 공통 부분을 "제외"한 영역이고, 우변은 두 집합이 겹치는 모든 영역의 합집합으로 중앙 공통 부분이 "포함"됩니다. 따라서 항등식이 성립하지 않습니다. (c) **$\overline{(A \cap B \cap C)} = \bar{A} \cup \bar{B} \cup \bar{C}$** - 드 모르간의 법칙 (De Morgan's Laws) 중 하나입니다. - 좌변: $\overline{(A \cap B \cap C)}$는 A, B, C 모두에 속하는 영역의 여집합입니다. 즉, A, B, C 중 적어도 하나에 속하지 않는 모든 영역을 의미합니다. - 우변: $\bar{A} \cup \bar{B} \cup \bar{C}$는 A에 속하지 않거나, B에 속하지 않거나, C에 속하지 않는 모든 영역의 합집합입니다. - **결론:** 벤 다이어그램을 그려보면 두 표현이 동일한 영역을 나타냄을 알 수 있습니다. 이 항등식은 참입니다. ### 문제 1.2-11 전체 집합 $S$는 $0 \le x \le 3$, $0 \le y \le 4$로 정의된 직사각형 영역의 모든 점으로 구성됩니다. 세 집합 $A = \{y \le 3(x-1)/2\}$, $B = \{y \ge 1\}$, $C = \{y \ge 3-x\}$를 정의합니다. 다음 집합에 해당하는 벤 다이어그램을 음영 처리하십시오. (a) $A \cap B \cap C$ (b) $C \cap B \cap \bar{A}$ #### 풀이 **전체 집합 $S$**: $x \in [0, 3]$, $y \in [0, 4]$인 직사각형 영역. **집합 정의**: - $A: y \le \frac{3}{2}(x-1)$ (직선 $y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$ 아래 영역) - $B: y \ge 1$ (수평선 $y = 1$ 위 영역) - $C: y \ge 3-x$ (직선 $y = -x + 3$ 위 영역) (a) **$A \cap B \cap C$**: - 세 조건 $y \le \frac{3}{2}(x-1)$, $y \ge 1$, $y \ge 3-x$를 모두 만족하는 영역. - 이 영역은 세 직선 $y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$, $y = 1$, $y = -x + 3$에 의해 경계가 정해지는 $S$ 내의 영역입니다. - (그래프를 그려서 세 영역이 모두 겹치는 부분을 음영 처리) (b) **$C \cap B \cap \bar{A}$**: - 세 조건 $y \ge 3-x$, $y \ge 1$, $y > \frac{3}{2}(x-1)$를 모두 만족하는 영역. - 즉, $C$와 $B$에 속하지만 $A$에는 속하지 않는 영역입니다. - (그래프를 그려서 $y \ge 3-x$와 $y \ge 1$을 만족하면서 $y > \frac{3}{2}(x-1)$를 만족하는 $S$ 내의 영역을 음영 처리) ### 문제 1.3-1 주사위를 던집니다. 다음 사건 $A, B, A \cup B, A \cap B$의 확률을 구하십시오. $A = \{\text{홀수가 나옴}\}$, $B = \{\text{3보다 큰 수가 나옴}\}$ #### 풀이 **표본 공간 $S$**: 주사위를 던질 때 나올 수 있는 모든 결과: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. $|S|=6$. **사건 $A$**: 홀수가 나옴. $A = \{1, 3, 5\}$. $P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **사건 $B$**: 3보다 큰 수가 나옴. $B = \{4, 5, 6\}$. $P(B) = \frac{|B|}{|S|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **사건 $A \cup B$**: A 또는 B가 발생. $A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6\}$. $|A \cup B|=5$. $P(A \cup B) = \frac{|A \cup B|}{|S|} = \frac{5}{6}$. 또는 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. **사건 $A \cap B$**: A와 B가 동시에 발생. $A \cap B = \{5\}$. $|A \cap B|=1$. $P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|S|} = \frac{1}{6}$. **확률 요약**: - $P(A) = 1/2$ - $P(B) = 1/2$ - $P(A \cup B) = 5/6$ - $P(A \cap B) = 1/6$ ### 문제 1.3-9 도박 게임에서 공정한 주사위 두 개를 던집니다. 사람 $A$는 합이 6 이하이거나 주사위 중 하나가 4가 나오면 승리합니다. 사람 $B$는 합이 5 이상이거나 주사위 중 하나가 4가 나오면 승리합니다. 다음을 구하십시오. (a) $A$가 승리할 확률 (b) $B$가 승리할 확률 (c) $A$와 $B$ 모두 승리할 확률 #### 풀이 **표본 공간 $S$**: 두 개의 주사위를 던질 때 나올 수 있는 모든 결과. $|S| = 6 \times 6 = 36$. **사건 $A$**: 합이 6 이하이거나 주사위 중 하나가 4인 경우. $A = A_1 \cup A_2$. - $A_1$: 합이 6 이하인 경우. - 합 2: (1,1) - 1가지 - 합 3: (1,2), (2,1) - 2가지 - 합 4: (1,3), (2,2), (3,1) - 3가지 - 합 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - 4가지 - 합 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5가지 - $|A_1| = 1+2+3+4+5 = 15$ - $A_2$: 주사위 중 하나가 4인 경우. - (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) - (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6) - $|A_2| = 6+5 = 11$ (중복 제거) - $A_1 \cap A_2$: 합이 6 이하이고 주사위 중 하나가 4인 경우. - (1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2) - $|A_1 \cap A_2| = 5$ - $|A| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2| = 15 + 11 - 5 = 21$. (a) **$A$가 승리할 확률 $P(A)$**: $P(A) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$. **사건 $B$**: 합이 5 이상이거나 주사위 중 하나가 4인 경우. $B = B_1 \cup B_2$. - $B_1$: 합이 5 이상인 경우. - $|B_1| = |S| - |합 4 이하| = 36 - (1+2+3) = 36 - 6 = 30$. - $B_2$: 주사위 중 하나가 4인 경우. - $|B_2| = 11$ (위와 동일) - $B_1 \cap B_2$: 합이 5 이상이고 주사위 중 하나가 4인 경우. - (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) - (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6) - 이 모든 결과는 합이 5 이상입니다. 따라서 $|B_1 \cap B_2| = 11$. - $|B| = |B_1| + |B_2| - |B_1 \cap B_2| = 30 + 11 - 11 = 30$. (b) **$B$가 승리할 확률 $P(B)$**: $P(B) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$. (c) **$A$와 $B$ 모두 승리할 확률 $P(A \cap B)$**: $A \cap B$는 $A$의 조건과 $B$의 조건을 모두 만족해야 합니다. - (합이 6 이하이거나 주사위 중 하나가 4) AND (합이 5 이상이거나 주사위 중 하나가 4) - $A \cap B = (A_1 \cup A_2) \cap (B_1 \cup B_2)$ - $A_1 \cap B_1$: 합이 5 또는 6. - 합 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - 4가지 - 합 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5가지 - $|A_1 \cap B_1| = 9$ - $A_2 \cap B_2$: 주사위 중 하나가 4인 경우 (동일하므로 $|A_2 \cap B_2|=11$) - $(A_1 \cap B_2) \cup (A_2 \cap B_1) \cup (A_2 \cap B_2)$ - $A_1 \cap B_2$: 합이 6 이하이고 주사위 중 하나가 4인 경우 (위에서 5가지) - $A_2 \cap B_1$: 합이 5 이상이고 주사위 중 하나가 4인 경우 (위에서 11가지) - $A \cap B$: (합이 5 또는 6) 또는 (주사위 중 하나가 4) - 합 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - 합 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 주사위 중 하나가 4: (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6) - 이들을 모두 합치고 중복을 제거하면: - (2,3), (3,2), (1,5), (3,3), (5,1) - 5가지 (합 5 또는 6, 4가 없는 경우) - (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) - 6가지 (오른쪽이 4) - (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6) - 5가지 (왼쪽이 4, 중복 제외) - 총 $5 + 6 + 5 = 16$가지 - $|A \cap B| = 16$. $P(A \cap B) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$. ### 문제 1.3-13 게임에서 주사위 두 개를 던집니다. 한 주사위는 '가중치'가 부여되어 4가 나올 확률이 $1/3$이고 다른 숫자가 나올 확률은 $2/15$입니다. 다른 주사위는 3이 나올 확률이 $1/3$이고 다른 숫자가 나올 확률은 $2/15$입니다. 슈터가 합이 7이 되어 즉시 승리할 확률을 구하십시오. 공정한 주사위의 경우 확률은 얼마입니까? #### 풀이 **가중치 주사위 1 (D1)**: - $P(D1=4) = 1/3$ - $P(D1 \ne 4) = 1 - 1/3 = 2/3$. 이 $2/3$를 나머지 5개 숫자가 균등하게 나눕니다. - $P(D1=k)$ (for $k \in \{1,2,3,5,6\}$) $= \frac{2/3}{5} = \frac{2}{15}$. - 확인: $P(D1=4) + 5 \times P(D1=k \text{ for } k \ne 4) = 1/3 + 5 \times 2/15 = 1/3 + 2/3 = 1$. **가중치 주사위 2 (D2)**: - $P(D2=3) = 1/3$ - $P(D2 \ne 3) = 1 - 1/3 = 2/3$. 이 $2/3$를 나머지 5개 숫자가 균등하게 나눕니다. - $P(D2=k)$ (for $k \in \{1,2,4,5,6\}$) $= \frac{2/3}{5} = \frac{2}{15}$. - 확인: $P(D2=3) + 5 \times P(D2=k \text{ for } k \ne 3) = 1/3 + 5 \times 2/15 = 1/3 + 2/3 = 1$. **합이 7이 되는 경우**: 다음 조합이 가능합니다: 1. D1=1, D2=6: $P(D1=1) \times P(D2=6) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{15} = \frac{4}{225}$ 2. D1=2, D2=5: $P(D1=2) \times P(D2=5) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{15} = \frac{4}{225}$ 3. D1=3, D2=4: $P(D1=3) \times P(D2=4) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{15} = \frac{4}{225}$ 4. D1=4, D2=3: $P(D1=4) \times P(D2=3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = \frac{25}{225}$ 5. D1=5, D2=2: $P(D1=5) \times P(D2=2) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{15} = \frac{4}{225}$ 6. D1=6, D2=1: $P(D1=6) \times P(D2=1) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{15} = \frac{4}{225}$ **가중치 주사위의 합이 7이 될 확률**: $P(\text{합}=7) = \frac{4}{225} + \frac{4}{225} + \frac{4}{225} + \frac{25}{225} + \frac{4}{225} + \frac{4}{225} = \frac{4+4+4+25+4+4}{225} = \frac{45}{225} = \frac{1}{5}$. **공정한 주사위의 경우**: 각 주사위의 각 숫자가 나올 확률은 $1/6$입니다. $P(\text{합}=7) = 6 \times (\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}) = 6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. ### 문제 1.4-1 52장 카드 덱에서 카드 두 장을 뽑습니다 (첫 번째 카드는 교체하지 않습니다). (a) 첫 번째 카드가 퀸일 경우, 두 번째 카드도 퀸일 확률은 얼마입니까? (b) 첫 번째 카드가 퀸일 경우, 두 번째 카드가 7일 확률은 얼마입니까? (c) 두 카드 모두 퀸일 확률은 얼마입니까? #### 풀이 **전체 카드 덱**: 52장. 퀸은 4장, 7은 4장. (a) **첫 번째 카드가 퀸일 때, 두 번째 카드도 퀸일 확률**: - 첫 번째 카드가 퀸일 사건을 $Q_1$, 두 번째 카드가 퀸일 사건을 $Q_2$라고 합시다. - $P(Q_2 | Q_1) = \frac{\text{두 번째 퀸을 뽑을 수 있는 경우의 수}}{\text{나머지 카드 수}}$ - 첫 번째 카드를 퀸으로 뽑았으므로, 남은 카드는 51장이고, 남은 퀸은 3장입니다. - $P(Q_2 | Q_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$. (b) **첫 번째 카드가 퀸일 때, 두 번째 카드가 7일 확률**: - 첫 번째 카드가 퀸일 사건을 $Q_1$, 두 번째 카드가 7일 사건을 $S_2$라고 합시다. - $P(S_2 | Q_1) = \frac{\text{두 번째 7을 뽑을 수 있는 경우의 수}}{\text{나머지 카드 수}}$ - 첫 번째 카드를 퀸으로 뽑았으므로, 남은 카드는 51장이고, 남은 7은 4장입니다. - $P(S_2 | Q_1) = \frac{4}{51}$. (c) **두 카드 모두 퀸일 확률**: - $P(Q_1 \cap Q_2) = P(Q_1) \times P(Q_2 | Q_1)$. - $P(Q_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. - $P(Q_2 | Q_1) = \frac{3}{51}$ (위 (a)에서 계산). - $P(Q_1 \cap Q_2) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$. ### 문제 1.4-7 예제 1.4-2를 다음과 같이 다시 풀어보십시오: $P(B_1) = 0.6$, $P(B_2) = 0.4$, $P(A_1|B_1) = P(A_2|B_2) = 0.95$, $P(A_2|B_1) = P(A_1|B_2) = 0.05$. #### 풀이 예제 1.4-2는 이진 통신 시스템에 대한 문제로, $B_1, B_2$는 송신된 심볼, $A_1, A_2$는 수신된 심볼을 나타냅니다. 주어진 확률: - $P(B_1) = 0.6$ (심볼 1 송신 확률) - $P(B_2) = 0.4$ (심볼 2 송신 확률) - $P(A_1|B_1) = 0.95$ (심볼 1 송신 시 심볼 1 수신 확률, 즉 올바른 수신 확률) - $P(A_2|B_2) = 0.95$ (심볼 2 송신 시 심볼 2 수신 확률, 즉 올바른 수신 확률) - $P(A_2|B_1) = 0.05$ (심볼 1 송신 시 심볼 2 수신 확률, 즉 오류 수신 확률) - $P(A_1|B_2) = 0.05$ (심볼 2 송신 시 심볼 1 수신 확률, 즉 오류 수신 확률) 우리는 일반적으로 다음을 계산합니다: 1. **$P(A_1)$ (심볼 1 수신 확률)** 베이즈 정리의 전체 확률 법칙을 사용합니다: $P(A_1) = P(A_1|B_1)P(B_1) + P(A_1|B_2)P(B_2)$ $P(A_1) = (0.95)(0.6) + (0.05)(0.4) = 0.57 + 0.02 = 0.59$. 2. **$P(A_2)$ (심볼 2 수신 확률)** $P(A_2) = P(A_2|B_1)P(B_1) + P(A_2|B_2)P(B_2)$ $P(A_2) = (0.05)(0.6) + (0.95)(0.4) = 0.03 + 0.38 = 0.41$. (확인: $P(A_1) + P(A_2) = 0.59 + 0.41 = 1.0$) 3. **오류 확률 $P(E)$ (수신된 심볼이 송신된 심볼과 다를 확률)** $P(E) = P(A_2|B_1)P(B_1) + P(A_1|B_2)P(B_2)$ $P(E) = (0.05)(0.6) + (0.05)(0.4) = 0.03 + 0.02 = 0.05$. 또는 $P(E) = 1 - P(\text{올바른 수신}) = 1 - [P(A_1|B_1)P(B_1) + P(A_2|B_2)P(B_2)]$ $P(E) = 1 - [(0.95)(0.6) + (0.95)(0.4)] = 1 - [0.57 + 0.38] = 1 - 0.95 = 0.05$. 4. **$P(B_1|A_1)$ (심볼 1이 수신되었을 때 심볼 1이 송신되었을 확률)** 베이즈 정리를 사용합니다: $P(B_1|A_1) = \frac{P(A_1|B_1)P(B_1)}{P(A_1)} = \frac{(0.95)(0.6)}{0.59} = \frac{0.57}{0.59} \approx 0.966$. 5. **$P(B_2|A_1)$ (심볼 1이 수신되었을 때 심볼 2가 송신되었을 확률)** $P(B_2|A_1) = \frac{P(A_1|B_2)P(B_2)}{P(A_1)} = \frac{(0.05)(0.4)}{0.59} = \frac{0.02}{0.59} \approx 0.034$. (확인: $P(B_1|A_1) + P(B_2|A_1) = 0.966 + 0.034 = 1.0$) 이러한 값들은 통신 채널의 성능을 분석하는 데 사용됩니다. ### 문제 1.4-10 미사일은 두 개의 릴레이 $A$와 $B$가 모두 고장났을 때 우연히 발사될 수 있습니다. $A$와 $B$가 고장날 확률은 각각 $0.01$과 $0.03$입니다. $A$가 고장났을 때 $B$가 고장날 확률은 $0.06$으로 알려져 있습니다. (a) 우연한 미사일 발사 확률은 얼마입니까? (b) $B$가 고장났을 때 $A$가 고장날 확률은 얼마입니까? (c) 사건 "A 고장"과 "B 고장"은 통계적으로 독립입니까? #### 풀이 **주어진 확률**: - $P(A) = 0.01$ (릴레이 A 고장 확률) - $P(B) = 0.03$ (릴레이 B 고장 확률) - $P(B|A) = 0.06$ (A가 고장났을 때 B가 고장날 확률) (a) **우연한 미사일 발사 확률 ($P(A \cap B)$)**: 미사일은 두 릴레이 $A$와 $B$가 **모두** 고장났을 때 발사됩니다. 따라서 $P(A \cap B)$를 구해야 합니다. 조건부 확률의 정의에 따라 $P(A \cap B) = P(B|A)P(A)$입니다. $P(A \cap B) = (0.06) \times (0.01) = 0.0006$. (b) **$B$가 고장났을 때 $A$가 고장날 확률 ($P(A|B)$)**: 베이즈 정리를 사용합니다: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$. $P(A|B) = \frac{0.0006}{0.03} = \frac{6}{300} = \frac{1}{50} = 0.02$. (c) **사건 "A 고장"과 "B 고장"은 통계적으로 독립입니까?** 두 사건 $A$와 $B$가 통계적으로 독립이려면 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$여야 합니다. - $P(A \cap B) = 0.0006$ (위 (a)에서 계산). - $P(A)P(B) = (0.01)(0.03) = 0.0003$. $0.0006 \ne 0.0003$이므로, 사건 "A 고장"과 "B 고장"은 통계적으로 독립이 아닙니다. 다른 방법으로, $P(B|A) = 0.06$이고 $P(B) = 0.03$입니다. $P(B|A) \ne P(B)$이므로 독립이 아닙니다. (A가 고장나면 B가 고장날 확률이 더 높아집니다.) ### 문제 1.4-13 제조 공장은 세 공급업체 $A, B, C$에서 공급받은 집적회로(IC)가 포함된 라디오를 만듭니다. 라디오에 있는 IC가 각 공급업체에서 나올 확률은 모두 $1/3$로 동일합니다. IC는 공급업체 $A, B, C$에 대해 각각 $0.001, 0.003, 0.002$의 확률로 불량품인 것으로 알려져 있습니다. (a) 임의의 라디오에 불량 IC가 포함될 확률은 얼마입니까? (b) 라디오에 불량 IC가 포함되어 있다면, 그것이 공급업체 $A$에서 나왔을 확률을 구하십시오. 공급업체 $B$와 $C$에 대해서도 반복하십시오. #### 풀이 **주어진 확률**: - $P(A) = P(B) = P(C) = 1/3$ (IC가 각 공급업체에서 나올 확률) - $P(D|A) = 0.001$ (A에서 나온 IC가 불량일 확률) - $P(D|B) = 0.003$ (B에서 나온 IC가 불량일 확률) - $P(D|C) = 0.002$ (C에서 나온 IC가 불량일 확률) 여기서 $D$는 IC가 불량인 사건을 나타냅니다. (a) **임의의 라디오에 불량 IC가 포함될 확률 ($P(D)$)**: 전체 확률 법칙을 사용합니다: $P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)$ $P(D) = (0.001)(\frac{1}{3}) + (0.003)(\frac{1}{3}) + (0.002)(\frac{1}{3})$ $P(D) = \frac{1}{3}(0.001 + 0.003 + 0.002) = \frac{1}{3}(0.006) = 0.002$. (b) **라디오에 불량 IC가 포함되어 있다면, 그것이 공급업체 $A$에서 나왔을 확률 ($P(A|D)$)**: 베이즈 정리를 사용합니다: $P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{(0.001)(1/3)}{0.002} = \frac{0.001}{0.006} = \frac{1}{6}$. **공급업체 $B$에서 나왔을 확률 ($P(B|D)$)**: $P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} = \frac{(0.003)(1/3)}{0.002} = \frac{0.003}{0.006} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **공급업체 $C$에서 나왔을 확률 ($P(C|D)$)**: $P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} = \frac{(0.002)(1/3)}{0.002} = \frac{0.002}{0.006} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. (확인: $P(A|D) + P(B|D) + P(C|D) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1+3+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$). ### 문제 1.5-1 예제 1.4-1의 세 사건 $A, B, C$가 통계적으로 독립인지 판단하십시오. #### 풀이 예제 1.4-1의 내용은 문제에 주어지지 않았으므로, 일반적인 통계적 독립성 조건을 설명하고, 예제 1.4-1의 구체적인 사건과 확률을 가정하여 풀이를 제시합니다. **일반적인 통계적 독립성 조건**: 세 사건 $A, B, C$가 통계적으로 독립이려면 다음의 모든 조건이 충족되어야 합니다. 1. **쌍별 독립 (Pairwise Independence)**: - $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ - $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ - $P(B \cap C) = P(B)P(C)$ 2. **세 사건의 독립**: - $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ **예제 1.4-1 가정 (가상의 데이터)**: 예제 1.4-1이 저항기 선택에 관한 문제라고 가정하고, 다음과 같은 가상의 사건과 확률을 정의합니다. - $A$: "22-$\Omega$ 저항기 선택" - $B$: "10% 허용 오차 저항기 선택" - $C$: "0.5W 정격 저항기 선택" 그리고 가상의 확률이 다음과 같다고 가정합니다: - $P(A) = 0.4$ - $P(B) = 0.3$ - $P(C) = 0.2$ - $P(A \cap B) = 0.12$ - $P(A \cap C) = 0.08$ - $P(B \cap C) = 0.06$ - $P(A \cap B \cap C) = 0.024$ **독립성 확인**: 1. **쌍별 독립**: - $P(A)P(B) = (0.4)(0.3) = 0.12$. $P(A \cap B) = 0.12$. $\implies$ $A$와 $B$는 독립. - $P(A)P(C) = (0.4)(0.2) = 0.08$. $P(A \cap C) = 0.08$. $\implies$ $A$와 $C$는 독립. - $P(B)P(C) = (0.3)(0.2) = 0.06$. $P(B \cap C) = 0.06$. $\implies$ $B$와 $C$는 독립. (이 가정에서는 쌍별 독립이 모두 충족됩니다.) 2. **세 사건의 독립**: - $P(A)P(B)P(C) = (0.4)(0.3)(0.2) = 0.024$. - $P(A \cap B \cap C) = 0.024$. - $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$이므로, 세 사건은 독립입니다. **결론 (가정된 데이터에 기반)**: 위의 가상 데이터에 따르면, 세 사건 $A, B, C$는 통계적으로 독립입니다. (실제 문제 1.4-1의 데이터를 사용하여 이 과정을 반복해야 합니다.) ### 문제 1.5-5 통신 시스템에서 $a$ 지점에서 $b$ 지점으로 전송되는 신호는 두 개의 병렬 경로를 통해 도착합니다. 각 경로에서 신호는 두 개의 중계기를 직렬로 통과합니다. 한 경로의 각 중계기가 고장(개방 회로가 됨)할 확률은 $0.005$입니다. 다른 경로의 각 중계기가 고장날 확률은 $0.008$입니다. 모든 중계기는 서로 독립적으로 고장납니다. 신호가 $b$ 지점에 도착하지 않을 확률을 구하십시오. #### 풀이 **시스템 구성**: - 두 개의 병렬 경로. - 각 경로에는 두 개의 중계기가 직렬로 연결됨. - 신호가 $b$ 지점에 도착하려면, 적어도 하나의 병렬 경로가 작동해야 합니다. - 신호가 $b$ 지점에 도착하지 않으려면, 두 병렬 경로 모두 고장나야 합니다. **중계기 고장 확률**: - 경로 1의 중계기 (R11, R12): $P(F_{R1}) = 0.005$ - 경로 2의 중계기 (R21, R22): $P(F_{R2}) = 0.008$ 모든 중계기는 독립적으로 고장납니다. **경로 1이 작동할 확률 ($P(S_1)$)**: - 경로 1이 작동하려면 R11과 R12가 모두 작동해야 합니다. - $P(S_{R11}) = 1 - P(F_{R1}) = 1 - 0.005 = 0.995$. - $P(S_{R12}) = 1 - P(F_{R1}) = 1 - 0.005 = 0.995$. - $P(S_1) = P(S_{R11}) \times P(S_{R12})$ (직렬 연결이므로) - $P(S_1) = (0.995)(0.995) = 0.990025$. **경로 1이 고장날 확률 ($P(F_1)$)**: - $P(F_1) = 1 - P(S_1) = 1 - 0.990025 = 0.009975$. **경로 2가 작동할 확률 ($P(S_2)$)**: - 경로 2가 작동하려면 R21과 R22가 모두 작동해야 합니다. - $P(S_{R21}) = 1 - P(F_{R2}) = 1 - 0.008 = 0.992$. - $P(S_{R22}) = 1 - P(F_{R2}) = 1 - 0.008 = 0.992$. - $P(S_2) = P(S_{R21}) \times P(S_{R22})$ - $P(S_2) = (0.992)(0.992) = 0.984064$. **경로 2가 고장날 확률 ($P(F_2)$)**: - $P(F_2) = 1 - P(S_2) = 1 - 0.984064 = 0.015936$. **신호가 $b$ 지점에 도착하지 않을 확률**: - 신호가 도착하지 않으려면 경로 1과 경로 2가 **모두** 고장나야 합니다 (병렬 시스템이므로). - 중계기들이 독립이므로, 경로 1과 경로 2의 고장도 독립입니다. - $P(\text{도착하지 않음}) = P(F_1 \cap F_2) = P(F_1) \times P(F_2)$ - $P(\text{도착하지 않음}) = (0.009975) \times (0.015936) \approx 0.0001589$. **결론**: 신호가 $b$ 지점에 도착하지 않을 확률은 약 $0.0001589$입니다. ### 문제 1.7-1 생산 라인은 부피 공차 5%로 5갤런(18.93리터) 휘발유 캔을 제조합니다. 임의의 캔이 공차를 벗어날 확률은 $0.03$입니다. 캔 4개를 무작위로 선택했을 때, 다음 확률은 얼마입니까? (a) 모두 공차를 벗어날 확률 (b) 정확히 두 개가 공차를 벗어날 확률 (c) 모두 공차 내에 있을 확률 #### 풀이 이것은 이항 분포 문제입니다. - $n = 4$ (선택된 캔의 수) - $p = 0.03$ (캔 하나가 공차를 벗어날 확률, "실패" 확률) - $q = 1 - p = 0.97$ (캔 하나가 공차 내에 있을 확률, "성공" 확률) 이항 확률 공식은 $P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$입니다. (a) **모두 공차를 벗어날 확률 ($k=4$)**: $P(X=4) = C(4, 4) (0.03)^4 (0.97)^{4-4}$ $P(X=4) = 1 \times (0.03)^4 \times (0.97)^0$ $P(X=4) = (0.03)^4 = 0.00000081$. (b) **정확히 두 개가 공차를 벗어날 확률 ($k=2$)**: $P(X=2) = C(4, 2) (0.03)^2 (0.97)^{4-2}$ $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$. $P(X=2) = 6 \times (0.03)^2 \times (0.97)^2$ $P(X=2) = 6 \times 0.0009 \times 0.9409 = 6 \times 0.00084681 = 0.00508086$. (c) **모두 공차 내에 있을 확률 ($k=0$이므로, 0개가 공차를 벗어날 확률)**: $P(X=0) = C(4, 0) (0.03)^0 (0.97)^{4-0}$ $P(X=0) = 1 \times 1 \times (0.97)^4$ $P(X=0) = (0.97)^4 \approx 0.88529281$. **결론**: (a) 모두 공차를 벗어날 확률: $0.00000081$ (b) 정확히 두 개가 공차를 벗어날 확률: $0.00508086$ (c) 모두 공차 내에 있을 확률: $0.88529281$ ### 문제 1.7-3 예제 1.7-1의 잠수함 문제에서, 어뢰가 2개 미만(N=2) 또는 4개 초과(N=4) 발사되었을 때 항공모함이 침몰할 확률을 구하십시오. #### 풀이 예제 1.7-1의 잠수함 문제에 대한 정보가 없으므로, 이 문제에 필요한 가정을 먼저 설정해야 합니다. 일반적으로 이런 문제는 이항 분포를 따릅니다. **가정**: - 총 발사된 어뢰 수: $N_{total}$ - 항공모함 침몰에 필요한 최소 어뢰 명중 수: $k_{min}$ - 어뢰 하나가 명중할 확률: $p$ 문제에서 "어뢰가 2개 미만(N=2) 또는 4개 초과(N=4) 발사되었을 때"라는 표현은 어뢰 발사 횟수가 $N$이라는 의미가 아니라, 항공모함이 침몰하기 위해 필요한 명중 수와 관련된 것으로 해석될 수 있습니다. 그러나 일반적으로 이항 분포 문제에서 $N$은 시행 횟수를 의미합니다. 여기서는 "2개 미만 또는 4개 초과"가 침몰 조건에 대한 것이 아니라, 성공 횟수 $k$에 대한 조건으로 해석해야 합니다. **해석 1: 총 어뢰 발사 횟수가 고정되어 있고, 명중 횟수에 대한 조건인 경우** 예제 1.7-1에서 총 어뢰 발사 횟수 $N$이 주어졌다고 가정합니다. (예: $N=6$이라고 가정) 어뢰가 명중할 확률 $p$ (예: $p=0.4$라고 가정) $X$를 명중한 어뢰의 수라고 하면, $X \sim B(N, p)$. 문제에서 "2개 미만(N=2) 또는 4개 초과(N=4)"라는 표현은 실제로는 "명중 횟수가 2 미만($k 4$)"를 의미하는 것으로 해석하는 것이 합리적입니다. 즉, $P(X 4)$. 이 경우 $P(X 4) = P(X=5) + P(X=6) + \dots + P(X=N)$. **예시 계산 (N=6, p=0.4 가정)**: $P(X=k) = C(6, k) (0.4)^k (0.6)^{6-k}$. - $P(X=0) = C(6, 0) (0.4)^0 (0.6)^6 = 1 \times 1 \times 0.046656 = 0.046656$ - $P(X=1) = C(6, 1) (0.4)^1 (0.6)^5 = 6 \times 0.4 \times 0.07776 = 0.186624$ - $P(X=5) = C(6, 5) (0.4)^5 (0.6)^1 = 6 \times 0.01024 \times 0.6 = 0.036864$ - $P(X=6) = C(6, 6) (0.4)^6 (0.6)^0 = 1 \times 0.004096 \times 1 = 0.004096$ $P(X 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=5) + P(X=6)$ $= 0.046656 + 0.186624 + 0.036864 + 0.004096 = 0.27424$. **해석 2: 문제의 N=2, N=4가 총 어뢰 발사 횟수를 의미하는 경우** 이 해석은 일반적인 문제 형식과 맞지 않지만, "2개 미만 (N=2) 또는 4개 초과 (N=4)"라는 문구를 문자 그대로 받아들인다면: - N=2일 때의 침몰 확률 (2개 미만 발사) - N=4일 때의 침몰 확률 (4개 초과 발사) 이런 식으로는 "항공모함 침몰"이라는 최종 결과와 연결하기 어렵습니다. **결론 (해석 1에 기반)**: 예제 1.7-1의 정확한 $N$과 $p$ 값을 알 수 없으므로, 일반적인 이항 분포 문제로 가정하여 설명했습니다. 만약 예제 1.7-1에서 총 어뢰 발사 횟수 $N$과 명중 확률 $p$가 주어졌다면, 위와 같은 방식으로 $P(X 4)$를 계산하여 합산하면 됩니다. (예시 값 $N=6, p=0.4$로 계산했을 때 항공모함이 침몰할 확률은 $0.27424$입니다.)