Cercle Trigonométrique

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### Définition et Bases Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l'origine $(0,0)$ d'un repère orthonormé. Il est utilisé pour définir les fonctions trigonométriques pour tout angle réel. - **Rayon:** $R=1$ - **Centre:** $(0,0)$ - **Sens positif:** Anti-horaire - **Point de départ:** Axe des abscisses positif (point $(1,0)$) #### Angles - Les angles sont mesurés en **radians** ou en **degrés**. - **Conversion:** $\pi \text{ radians} = 180^\circ$ - Pour convertir des degrés en radians: $\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180}$ - Pour convertir des radians en degrés: $\text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}$ | Degrés | Radians | |--------|---------| | $0^\circ$ | $0$ | | $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | | $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ | | $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | | $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | | $180^\circ$ | $\pi$ | | $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ | | $360^\circ$ | $2\pi$ | ### Fonctions Trigonométriques Pour un angle $\theta$ mesuré depuis l'axe des abscisses positif, et un point $M(x,y)$ sur le cercle trigonométrique correspondant à cet angle: - **Cosinus ($\cos\theta$):** L'abscisse $x$ du point $M$. - $\cos\theta = x$ - **Sinus ($\sin\theta$):** L'ordonnée $y$ du point $M$. - $\sin\theta = y$ - **Tangente ($\tan\theta$):** Le rapport du sinus sur le cosinus. - $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$, où $\cos\theta \neq 0$. - **Cotangente ($\cot\theta$):** Le rapport du cosinus sur le sinus. - $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{x}{y}$, où $\sin\theta \neq 0$. #### Valeurs Remarquables | $\theta$ (rad) | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\tan\theta$ | |----------------|--------------|--------------|--------------| | $0$ | $1$ | $0$ | $0$ | | $\frac{\pi}{6}$| $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $\frac{\pi}{4}$| $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | | $\frac{\pi}{3}$| $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\sqrt{3}$ | | $\frac{\pi}{2}$| $0$ | $1$ | Indéfinie | | $\pi$ | $-1$ | $0$ | $0$ | | $\frac{3\pi}{2}$| $0$ | $-1$ | Indéfinie | | $2\pi$ | $1$ | $0$ | $0$ | ### Identités Fondamentales Ces identités sont dérivées directement de la définition du cercle trigonométrique. - **Relation de Pythagore:** $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ - Découle du théorème de Pythagore dans le triangle formé par l'origine, le point $M(x,y)$ et sa projection sur l'axe des abscisses. - **Périodicité:** - $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta$ - $\sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta$ - $\tan(\theta + k\pi) = \tan\theta$ (où $k$ est un entier) - **Symétries:** - $\cos(-\theta) = \cos\theta$ (fonction paire) - $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ (fonction impaire) - $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ (fonction impaire) #### Angles associés - **Angles supplémentaires ($\pi - \theta$):** - $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ - $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ - **Angles complémentaires ($\frac{\pi}{2} - \theta$):** - $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$ - $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$ - **Angles opposés ($-\theta$):** - $\cos(-\theta) = \cos\theta$ - $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ - **Angles décalés ($\pi + \theta$):** - $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ - $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ ### Formules d'Addition et de Duplication Ces formules permettent de calculer les fonctions trigonométriques de sommes ou de multiples d'angles. #### Formules d'Addition - $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ - $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ - $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ - $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ - $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ - $\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$ #### Formules de Duplication - $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ - $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ - $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ #### Formules de Linéarisation (Demi-angle) - $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ - $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ ### Équations Trigonométriques Résoudre des équations trigonométriques consiste à trouver les angles $\theta$ qui satisfont l'équation. - **$\cos\theta = \cos\alpha \iff \theta = \alpha + 2k\pi \text{ ou } \theta = -\alpha + 2k\pi$** - **$\sin\theta = \sin\alpha \iff \theta = \alpha + 2k\pi \text{ ou } \theta = \pi - \alpha + 2k\pi$** - **$\tan\theta = \tan\alpha \iff \theta = \alpha + k\pi$** Où $k$ est un entier relatif.