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### Einführung in grafische Darstellungen und Rechenwege Dieser Spickzettel bietet eine Anleitung zur grafischen Darstellung mathematischer Funktionen und zur Veranschaulichung der zugehörigen Rechenwege. Es werden Beispiele verwendet, um die Konzepte klar und verständlich zu machen. ### Lineare Funktionen Eine lineare Funktion hat die Form $y = mx + b$. #### 1. Definition - $m$: Steigung der Geraden - $b$: Y-Achsenabschnitt (der Punkt, an dem die Gerade die Y-Achse schneidet) #### 2. Rechenwege **Beispiel:** Zeichne die Funktion $y = 2x + 1$. 1. **Y-Achsenabschnitt finden:** Setze $x=0$. Dann ist $y = 2(0) + 1 = 1$. Der erste Punkt ist $(0, 1)$. 2. **Zweiten Punkt finden (mit Steigung):** Die Steigung $m=2$ bedeutet, dass für jeden Schritt nach rechts auf der X-Achse die Funktion um 2 Schritte nach oben auf der Y-Achse steigt. - Von $(0, 1)$ gehe 1 Einheit nach rechts (zu $x=1$). - Gehe 2 Einheiten nach oben (zu $y=1+2=3$). - Der zweite Punkt ist $(1, 3)$. 3. **Zweiten Punkt finden (alternativ):** Wähle einen anderen Wert für $x$, z.B. $x=2$. Dann ist $y = 2(2) + 1 = 5$. Der zweite Punkt ist $(2, 5)$. #### 3. Grafische Darstellung

Grafische Darstellung einer linearen Funktion y = 2x + 1

*Abbildung: Eine Gerade, die durch die Punkte (0,1) und (1,3) verläuft.* ### Quadratische Funktionen Eine quadratische Funktion hat die Form $y = ax^2 + bx + c$. #### 1. Definition - Die grafische Darstellung ist eine Parabel. - $a$: Öffnung der Parabel (nach oben bei $a>0$, nach unten bei $a<0$). - $c$: Y-Achsenabschnitt. #### 2. Rechenwege **Beispiel:** Zeichne die Funktion $y = x^2 - 4$. 1. **Y-Achsenabschnitt finden:** Setze $x=0$. Dann ist $y = 0^2 - 4 = -4$. Der Punkt ist $(0, -4)$. 2. **Nullstellen finden:** Setze $y=0$. $0 = x^2 - 4$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$. Die Nullstellen sind $(-2, 0)$ und $(2, 0)$. 3. **Scheitelpunkt finden:** Für $y = ax^2 + bx + c$ ist die X-Koordinate des Scheitelpunkts $x_s = \frac{-b}{2a}$. In diesem Beispiel ist $a=1$, $b=0$. Also $x_s = \frac{-0}{2(1)} = 0$. Setze $x_s=0$ in die Funktion ein: $y_s = 0^2 - 4 = -4$. Der Scheitelpunkt ist $(0, -4)$. (In diesem Fall ist der Scheitelpunkt auch der Y-Achsenabschnitt). 4. **Weitere Punkte:** Wähle weitere $x$-Werte und berechne die entsprechenden $y$-Werte. - Für $x=1$: $y = 1^2 - 4 = -3$. Punkt $(1, -3)$. - Für $x=-1$: $y = (-1)^2 - 4 = -3$. Punkt $(-1, -3)$. #### 3. Grafische Darstellung

Grafische Darstellung einer quadratischen Funktion y = x^2 - 4

*Abbildung: Eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und die Y-Achse bei -4 schneidet.* ### Trigonometrische Funktionen **Beispiel:** Sinusfunktion $y = \sin(x)$. #### 1. Definition - Periodische Funktion. - Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen. - Wertebereich: $[-1, 1]$. #### 2. Rechenwege 1. **Wichtige Punkte:** - $\sin(0) = 0$ - $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ - $\sin(\pi) = 0$ - $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ - $\sin(2\pi) = 0$ 2. **Tabelle anlegen:** | $x$ | $y = \sin(x)$ | |---------------|---------------| | $0$ | $0$ | | $\pi/2 \approx 1.57$ | $1$ | | $\pi \approx 3.14$ | $0$ | | $3\pi/2 \approx 4.71$ | $-1$ | | $2\pi \approx 6.28$ | $0$ | #### 3. Grafische Darstellung

Grafische Darstellung & Rechen

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