Grafische Darstellung & Rechen

Cheatsheet Content

### Einführung in grafische Darstellungen und Rechenwege Dieser Spickzettel bietet eine Anleitung zur grafischen Darstellung mathematischer Funktionen und zur Veranschaulichung der zugehörigen Rechenwege. Es werden Beispiele verwendet, um die Konzepte klar und verständlich zu machen. ### Lineare Funktionen Eine lineare Funktion hat die Form $y = mx + b$. #### 1. Definition - $m$: Steigung der Geraden - $b$: Y-Achsenabschnitt (der Punkt, an dem die Gerade die Y-Achse schneidet) #### 2. Rechenwege **Beispiel:** Zeichne die Funktion $y = 2x + 1$. 1. **Y-Achsenabschnitt finden:** Setze $x=0$. Dann ist $y = 2(0) + 1 = 1$. Der erste Punkt ist $(0, 1)$. 2. **Zweiten Punkt finden (mit Steigung):** Die Steigung $m=2$ bedeutet, dass für jeden Schritt nach rechts auf der X-Achse die Funktion um 2 Schritte nach oben auf der Y-Achse steigt. - Von $(0, 1)$ gehe 1 Einheit nach rechts (zu $x=1$). - Gehe 2 Einheiten nach oben (zu $y=1+2=3$). - Der zweite Punkt ist $(1, 3)$. 3. **Zweiten Punkt finden (alternativ):** Wähle einen anderen Wert für $x$, z.B. $x=2$. Dann ist $y = 2(2) + 1 = 5$. Der zweite Punkt ist $(2, 5)$. #### 3. Grafische Darstellung *Abbildung: Eine Gerade, die durch die Punkte (0,1) und (1,3) verläuft.* ### Quadratische Funktionen Eine quadratische Funktion hat die Form $y = ax^2 + bx + c$. #### 1. Definition - Die grafische Darstellung ist eine Parabel. - $a$: Öffnung der Parabel (nach oben bei $a>0$, nach unten bei $a *Abbildung: Eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und die Y-Achse bei -4 schneidet.* ### Trigonometrische Funktionen **Beispiel:** Sinusfunktion $y = \sin(x)$. #### 1. Definition - Periodische Funktion. - Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen. - Wertebereich: $[-1, 1]$. #### 2. Rechenwege 1. **Wichtige Punkte:** - $\sin(0) = 0$ - $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ - $\sin(\pi) = 0$ - $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ - $\sin(2\pi) = 0$ 2. **Tabelle anlegen:** | $x$ | $y = \sin(x)$ | |---------------|---------------| | $0$ | $0$ | | $\pi/2 \approx 1.57$ | $1$ | | $\pi \approx 3.14$ | $0$ | | $3\pi/2 \approx 4.71$ | $-1$ | | $2\pi \approx 6.28$ | $0$ | #### 3. Grafische Darstellung *Abbildung: Die typische wellenförmige Kurve der Sinusfunktion.*