Compound Interest (Class 10)

Cheatsheet Content

ब्याजको परिचय ब्याज: ऋण लिने व्यक्तिले ऋण दिने व्यक्तिलाई पैसा प्रयोग गरेबापत तिर्ने अतिरिक्त पैसा। मूलधन (P): ऋण लिइएको वा दिइएको पैसा। दर (R): प्रति सय मूलधनमा प्रति एकाइ समय (सामान्यतया प्रति वर्ष) लाग्ने ब्याज। समय (T वा N): पैसा ऋण लिइएको अवधिको लम्बाइ। मिश्रधन (A): मूलधन + ब्याज। साधारण ब्याज (SI) केवल मूलधनमा मात्र गणना गरिन्छ। सूत्र: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ मिश्रधन: $A = P + SI = P \left(1 + \frac{R \times T}{100}\right)$ चक्रवृद्धि ब्याज (CI) मूलधनका साथै अघिल्लो अवधिहरूको संचित ब्याजमा पनि ब्याज गणना गरिन्छ। "ब्याजमाथि ब्याज"। साधारण ब्याजको तुलनामा पैसाको छिटो वृद्धि हुन्छ। चक्रवृद्धि ब्याजका सूत्रहरू जब ब्याज वार्षिक रूपमा गणना गरिन्छ: मिश्रधन: $A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N$ चक्रवृद्धि ब्याज (CI): $CI = A - P = P \left[\left(1 + \frac{R}{100}\right)^N - 1\right]$ जहाँ: $P$ = मूलधन $R$ = वार्षिक ब्याज दर $N$ = वर्षहरूको संख्या जब ब्याज अर्ध-वार्षिक (हरेक ६ महिनामा) गणना गरिन्छ: ब्याज दर आधा हुन्छ, र समय दोब्बर हुन्छ। मिश्रधन: $A = P \left(1 + \frac{R/2}{100}\right)^{2N}$ यसलाई यसो पनि लेख्न सकिन्छ: $A = P \left(1 + \frac{R}{200}\right)^{2N}$ जब ब्याज त्रैमासिक (हरेक ३ महिनामा) गणना गरिन्छ: ब्याज दरलाई ४ ले भाग गरिन्छ, र समयलाई ४ ले गुणन गरिन्छ। मिश्रधन: $A = P \left(1 + \frac{R/4}{100}\right)^{4N}$ यसलाई यसो पनि लेख्न सकिन्छ: $A = P \left(1 + \frac{R}{400}\right)^{4N}$ जब विभिन्न वर्षहरूको लागि दरहरू फरक-फरक हुन्छन्: यदि पहिलो, दोस्रो, तेस्रो वर्षको लागि दरहरू क्रमशः $R_1$, $R_2$, $R_3$ छन्। मिश्रधन: $A = P \left(1 + \frac{R_1}{100}\right) \left(1 + \frac{R_2}{100}\right) \left(1 + \frac{R_3}{100}\right)$ आंशिक अवधिका लागि (उदाहरणका लागि, $N = 2 \frac{1}{2}$ वर्ष): मिश्रधन: $A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 \left(1 + \frac{\frac{1}{2}R}{100}\right)$ वर्षको आंशिक भागलाई पूर्ण वर्षहरूको अन्त्यमा संचित रकममा साधारण ब्याज गणनाको रूपमा लिइन्छ। CI र SI बीचको भिन्नता पहिलो वर्षको लागि, CI र SI सधैं बराबर हुन्छन्। पहिलो वर्षभन्दा बढी अवधिका लागि, CI सधैं SI भन्दा बढी हुन्छ (मानौं $R > 0$)। २ वर्षको लागि भिन्नता: $CI - SI = P \left(\frac{R}{100}\right)^2$ मुख्य अवधारणाहरू र शब्दहरू चक्रवृद्धि अवधि: ब्याज गणना गरी मूलधनमा थपिने अन्तराल (वार्षिक, अर्ध-वार्षिक, त्रैमासिक)। प्रभावकारी ब्याज दर: जब ब्याज वार्षिक भन्दा बढी पटक गणना गरिन्छ, एक वर्षमा कमाएको वा तिरेको ब्याजको वास्तविक दर। मूल्यह्रास (Depreciation): समयसँगै सम्पत्तिको मूल्यमा आउने कमी। यसको सूत्र CI जस्तै हुन्छ, तर नकारात्मक दरको साथ: $A = P \left(1 - \frac{R}{100}\right)^N$। वृद्धि/ह्रास: जनसंख्या वृद्धि वा ह्रासका समस्याहरूमा प्रायः CI सूत्रहरू प्रयोग गरिन्छ। वृद्धि: $P_{new} = P_{old} \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N$ ह्रास: $P_{new} = P_{old} \left(1 - \frac{R}{100}\right)^N$ मौखिक समस्याका उदाहरणहरू प्रकार १: आधारभूत गणना (मिश्रधन र CI) समस्या: ₹8000 को २ वर्षको लागि १०% प्रति वर्षको दरले वार्षिक रूपमा गणना गर्दा मिश्रधन र चक्रवृद्धि ब्याज पत्ता लगाउनुहोस्। $P = 8000$, $R = 10\%$, $N = 2$ वर्ष $A = 8000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 8000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 = 8000 \times \frac{121}{100} = ₹9680$ $CI = A - P = 9680 - 8000 = ₹1680$ प्रकार २: विभिन्न चक्रवृद्धि अवधिहरू समस्या: ₹10,000 को $1 \frac{1}{2}$ वर्षको लागि १०% प्रति वर्षको दरले अर्ध-वार्षिक रूपमा गणना गर्दा चक्रवृद्धि ब्याज गणना गर्नुहोस्। $P = 10000$, $R = 10\%$, $N = 1.5$ वर्ष अर्ध-वार्षिक गणना: $R_{half} = \frac{10}{2} = 5\%$, $N_{half} = 1.5 \times 2 = 3$ अवधिहरू $A = 10000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 = 10000 \left(\frac{21}{20}\right)^3 = 10000 \times \frac{9261}{8000} = ₹11576.25$ $CI = A - P = 11576.25 - 10000 = ₹1576.25$ प्रकार ३: CI र SI बीचको भिन्नता समस्या: कुनै रकमको २ वर्षको लागि ५% प्रति वर्षको दरले CI र SI को भिन्नता ₹15 छ। त्यो रकम पत्ता लगाउनुहोस्। दिइएको $CI - SI = 15$, $R = 5\%$, $N = 2$ वर्ष भिन्नताको सूत्र: $P \left(\frac{R}{100}\right)^2 = 15$ $P \left(\frac{5}{100}\right)^2 = 15 \implies P \left(\frac{1}{20}\right)^2 = 15$ $P \times \frac{1}{400} = 15 \implies P = 15 \times 400 = ₹6000$ प्रकार ४: जनसंख्या वृद्धि/मूल्यह्रास समस्या (वृद्धि): एक शहरको जनसंख्या ५% प्रति वर्षको दरले बढ्छ। यदि यसको वर्तमान जनसंख्या 160,000 छ भने, २ वर्षपछि यसको जनसंख्या कति हुनेछ? $P_{old} = 160000$, $R = 5\%$, $N = 2$ वर्ष $P_{new} = 160000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 160000 \left(\frac{21}{20}\right)^2 = 160000 \times \frac{441}{400} = 400 \times 441 = 176400$ समस्या (मूल्यह्रास): एक मेसिनको मूल्य १०% प्रति वर्षले घट्छ। यदि यसको वर्तमान मूल्य ₹50,000 छ भने, ३ वर्षपछि यसको मूल्य कति हुनेछ? $P = 50000$, $R = 10\%$, $N = 3$ वर्ष (मूल्यह्रास) $A = 50000 \left(1 - \frac{10}{100}\right)^3 = 50000 \left(\frac{9}{10}\right)^3 = 50000 \times \frac{729}{1000} = 50 \times 729 = ₹36450$ प्रकार ५: दर वा समय पत्ता लगाउने समस्या (दर पत्ता लगाउने): कति वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दरमा ₹4000 ले २ वर्षमा ₹4410 हुन्छ? $P = 4000$, $A = 4410$, $N = 2$ वर्ष $A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N \implies 4410 = 4000 \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2$ $\frac{4410}{4000} = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 \implies \frac{441}{400} = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2$ $\left(\frac{21}{20}\right)^2 = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 \implies \frac{21}{20} = 1 + \frac{R}{100}$ $\frac{R}{100} = \frac{21}{20} - 1 = \frac{1}{20} \implies R = \frac{100}{20} = 5\%$ समस्या (समय पत्ता लगाउने): कति वर्षमा ₹12,000 ले ५% प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज दरमा ₹13,230 हुन्छ? $P = 12000$, $A = 13230$, $R = 5\%$ $A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N \implies 13230 = 12000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^N$ $\frac{13230}{12000} = \left(\frac{21}{20}\right)^N \implies \frac{441}{400} = \left(\frac{21}{20}\right)^N$ $\left(\frac{21}{20}\right)^2 = \left(\frac{21}{20}\right)^N \implies N = 2$ वर्ष महत्वपूर्ण नोटहरू चक्रवृद्धि अवधि (वार्षिक, अर्ध-वार्षिक, त्रैमासिक) निर्धारण गर्न प्रश्नलाई सधैं ध्यानपूर्वक पढ्नुहोस्। दर (R) र समय (N) को एकाइहरू चक्रवृद्धि अवधिसँग मिल्दो छ भनी सुनिश्चित गर्नुहोस्। CI वा SI को लागि सही सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्। $N$ वा $R$ पत्ता लगाउनका लागि, प्रायः पूर्ण वर्ग/घन वा साधारण बीजगणितीय हेरफेरहरू पहिचान गर्नुपर्छ।