Kompleks Üstel Fonksiyon

Cheatsheet Content

### Tanım Kompleks bir sayı $z = x + iy$ için üstel fonksiyon $e^z$ şu şekilde tanımlanır: $$e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$$ Bu, Euler Formülü'nün bir genellemesidir: $e^{iy} = \cos y + i \sin y$. ### Özellikler - **Periyodiklik:** $e^z$ periyodiktir ve periyodu $2\pi i$'dir. Yani, $e^{z+2\pi i k} = e^z$ her $k \in \mathbb{Z}$ için geçerlidir. - **Türev:** $\frac{d}{dz} e^z = e^z$ - **Üstel Kuralları:** - $e^{z_1} e^{z_2} = e^{z_1+z_2}$ - $\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}} = e^{z_1-z_2}$ - $(e^z)^n = e^{nz}$ (n bir tam sayı ise) - **Modül ve Argüman:** - $|e^z| = |e^x (\cos y + i \sin y)| = |e^x| |\cos y + i \sin y| = e^x \cdot 1 = e^x$ - $\arg(e^z) = y + 2\pi k$ ### Euler Formülü Euler Formülü, üstel fonksiyonun kompleks sayılar için temel bir sonucudur: $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$ Burada $\theta$ gerçel bir sayıdır. Bu formül, birim çember üzerindeki noktaları ifade etmek için kullanılır. ### Kompleks Sayıların Kutupsal Formu Euler Formülü sayesinde, herhangi bir kompleks sayı $z = x + iy$ kutupsal formda şu şekilde ifade edilebilir: $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta}$$ Burada $r = |z|$ modül ve $\theta = \arg(z)$ argümandır. #### Örnek: $z = 1 + i$ için: - $r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - $\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ Dolayısıyla, $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$. ### İlişkili Trigonometrik Fonksiyonlar Üstel fonksiyon kullanılarak sinüs ve kosinüs fonksiyonları şu şekilde tanımlanabilir: - $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ - $\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ Bu tanımlar, gerçel değişkenli trigonometrik fonksiyonların kompleks düzleme genişletilmesidir.