Logarithmes et exponentielles

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Définition de l'exponentielle - La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction réciproque du logarithme népérien. - C'est l'unique fonction $f$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$. - Base du logarithme népérien : $e \approx 2.71828$ Propriétés de l'exponentielle - $e^0 = 1$ - $e^1 = e$ - $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ - $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ - $(e^a)^b = e^{ab}$ - $\frac{1}{e^a} = e^{-a}$ - Fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Pour $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$. - Limites : - $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ Définition du logarithme népérien - La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, est la fonction réciproque de $e^x$. - Elle est définie sur $]0, +\infty[$. - $\ln(x) = y \iff e^y = x$ - $\ln(1) = 0$ - $\ln(e) = 1$ Propriétés du logarithme népérien - $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ pour $a, b > 0$ - $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ pour $a, b > 0$ - $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour $a > 0, n \in \mathbb{R}$ - $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ pour $a > 0$ - Fonction strictement croissante sur $]0, +\infty[$. - Limites : - $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ Relations fondamentales - $\ln(e^x) = x$ pour $x \in \mathbb{R}$ - $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ - $a^x = e^{x \ln(a)}$ pour $a > 0$ Dérivées et Primitives - **Exponentielle :** - $(\exp(x))' = e^x$ - $(\exp(u(x)))' = u'(x)e^{u(x)}$ - Primitive de $e^x$ : $e^x + C$ - **Logarithme Néperien :** - $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ - $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$ - Primitive de $\frac{1}{x}$ : $\ln(|x|) + C$ Croissances Comparées Pour $n \in \mathbb{N}^*$: - $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ (L'exponentielle l'emporte sur les puissances) - $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ (Les puissances l'emportent sur le logarithme) - $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$