재료과학과 공학 공식집

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### 재료 역학 및 결정학 #### 8.5 슬립 시스템 - **슬립 시스템 정의:** 결정학적으로 조밀한 평면과 조밀한 방향의 조합으로, 전위(dislocation)가 이동하여 소성 변형이 일어나는 시스템. - **슬립 평면 (Slip plane):** 원자들이 가장 조밀하게 배열되어 있는 평면 (close-packed plane). - **슬립 방향 (Slip direction):** 슬립 평면 내에서 원자들이 가장 조밀하게 배열되어 있는 방향 (close-packed direction). - **모든 금속이 동일한 슬립 시스템을 갖는가?** 아니다. 왜냐하면 금속은 서로 다른 결정 구조를 가지며, 이는 그들의 조밀한 평면과 방향을 결정하기 때문이다. #### 8.6 FCC 및 BCC 평면 밀도 비교 - **FCC (Face-Centered Cubic) 평면 밀도:** - $PD_{(111)} > PD_{(100)} > PD_{(110)}$ - FCC의 경우, (111) 평면이 가장 조밀한 평면이며, (100) 평면, (110) 평면 순으로 밀도가 감소한다. - **BCC (Body-Centered Cubic) 평면 밀도:** - $PD_{(110)} > PD_{(100)} > PD_{(111)}$ - BCC의 경우, (110) 평면이 가장 조밀한 평면이며, (100) 평면, (111) 평면 순으로 밀도가 감소한다. #### 8.13 임계 분해 전단 응력 (Critical Resolved Shear Stress, CRSS) - **공식:** $\tau_{CRSS} = \sigma \cos \phi \cos \lambda$ - $\tau_{CRSS}$: 임계 분해 전단 응력 (Critical Resolved Shear Stress) - $\sigma$: 인장 응력 (Tensile stress) - $\phi$: 슬립 평면의 법선과 인장 축이 이루는 각도 - $\lambda$: 슬립 방향과 인장 축이 이루는 각도 - **가장 유리한 슬립 방향:** $\cos \phi \cos \lambda$ 값이 가장 큰 방향이 슬립에 가장 유리하며, 이는 $\lambda$ 값이 가장 작은 방향에 해당한다. #### 8.29 냉간 가공율 (Percent Cold Work, %CW) - **공식 (단면적이 원형인 경우):** $\%CW = \frac{A_0 - A_d}{A_0} \times 100 = \frac{d_0^2 - d_d^2}{d_0^2} \times 100$ - $A_0$: 초기 단면적 - $A_d$: 변형 후 단면적 - $d_0$: 초기 직경 - $d_d$: 변형 후 직경 - **공식 (단면적이 직사각형인 경우):** $\%CW = \frac{A_0 - A_d}{A_0} \times 100$ - $A_0$: 초기 폭 $\times$ 초기 높이 - $A_d$: 변형 후 폭 $\times$ 변형 후 높이 - **경화 정도:** 냉간 가공율 (%CW)이 클수록 재료는 더 단단해진다. ### 파괴 및 상 평형 #### 9.1 응력 집중 (Stress Concentration) - **공식 (타원형 내부 균열):** $\sigma_m = 2 \sigma_0 \sqrt{\frac{a}{\rho_t}}$ - $\sigma_m$: 균열 선단에서의 최대 응력 (Maximum stress at crack tip) - $\sigma_0$: 인가된 인장 응력 (Applied tensile stress) - $a$: 균열 길이의 절반 (Half-length of crack) - $\rho_t$: 균열 선단의 곡률 반경 (Radius of curvature at crack tip) #### 9.5 파괴 인성 (Fracture Toughness) - **공식:** $K_{Ic} = Y \sigma \sqrt{\pi a}$ - $K_{Ic}$: 평면 변형 파괴 인성 (Plane strain fracture toughness) - $Y$: 형상 계수 (Geometry factor, 일반적으로 1.0) - $\sigma$: 인가된 응력 (Applied stress) - $a$: 균열 길이의 절반 (Half-length of crack) - **파괴 여부 판단:** 인가된 응력 하에서 계산된 $K$ 값이 $K_{Ic}$보다 크면 파괴가 발생한다. #### 9.11 세라믹 재료의 파괴 강도 - **(a) 파괴 강도 분산:** 세라믹 재료의 파괴 강도가 상당한 분산을 보이는 이유는 재료 내부에 존재하는 미세 균열의 크기, 형상, 방향 등이 시편마다 다르기 때문이다. - **(b) 시편 크기에 따른 파괴 강도 증가:** 시편의 크기가 감소할수록 파괴 강도가 증가하는 이유는 시편 내에 존재하는 임계 균열(critical flaw)의 크기가 작아질 확률이 높아지기 때문이다 (Griffith Theory). Weibull 통계는 이러한 현상을 설명하는 데 사용된다: $$P_s(V) = \exp \left[ -\frac{V}{V_0} \left( \frac{\sigma}{\sigma_0} \right)^m \right]$$ - $P_s(V)$: 부피 $V$ 내에서 시편이 파괴되지 않을 확률 - $V_0, \sigma_0, m$: 재료의 특성에 따른 상수 - $\sigma$: 응력 - 부피가 작을수록 파괴 확률이 감소한다 (→ 파괴 강도 증가). #### 10.12 Pb-Mg 합금의 상 평형 (Pb-Mg Phase Diagram) - **단계별 냉각 과정:** 700°C에서 400°C로 냉각 시, Pb-Mg 상평형도를 참조하여 다음을 결정한다. - **(a) 첫 고체상이 형성되는 온도:** 560°C (액상선(liquidus line)과 만나는 지점) - **(b) 이 고체상의 조성:** 약 21 wt% Pb (고상선(solidus line)의 해당 온도 지점) - **(c) 액상이 완전히 고화되는 온도:** 465°C (공정선(eutectic line) 온도) - **(d) 마지막으로 남은 액상의 조성:** 약 67 wt% Pb (공정 조성) #### 10.17 Ag-Cu 합금의 상 평형 (Ag-Cu Phase Diagram) - **레버 규칙 (Lever Rule):** 두 상 영역에서 주어진 온도와 전체 조성(Co)에서 각 상의 조성($C_\alpha, C_L$)과 질량 분율($W_\alpha, W_L$)을 계산하는 데 사용된다. - **공식:** - $W_L = \frac{C_\beta - C_0}{C_\beta - C_L}$ (액상 질량 분율) - $W_\alpha = \frac{C_0 - C_L}{C_\beta - C_L}$ (고상 질량 분율) - $C_0$: 합금의 전체 조성 (e.g., 90 wt% Ag) - $C_L$: 액상의 조성 (e.g., 85 wt% Ag) - $C_\beta$: $\beta$ 상의 조성 (상평형도에서 해당 온도에서의 고상 조성) - **온도 결정:** 특정 상 조성 (예: $C_L = 85$ wt% Ag)이 주어졌을 때, 상평형도에서 해당 액상선과 만나는 온도를 찾는다 (예: 850°C). - **$\beta$ 상 조성 결정:** 주어진 온도에서 상평형도상의 고상선(solidus)에서 $\beta$ 상의 조성을 찾는다 (예: 95 wt% Ag). #### 10.19 이상 합금의 상 경계 조성 결정 - **레버 규칙 역산:** 주어진 두 가지 합금 조성과 각 상의 질량 분율을 이용하여 각 상의 경계 조성 ($C_\alpha, C_\beta$)을 연립 방정식으로 계산한다. - **예시:** - 합금 1: 40 wt% B, $W_\alpha = 0.57, W_\beta = 0.43$ - 합금 2: 70 wt% B, $W_\alpha = 0.14, W_\beta = 0.86$ - `(40 - C_alpha) / (C_beta - C_alpha) = 0.43` - `(70 - C_alpha) / (C_beta - C_alpha) = 0.86` - 위 식을 풀면 $C_\alpha \approx 10$ wt% B, $C_\beta \approx 79.8$ wt% B를 얻을 수 있다. ### 상 변태 #### 11.2 핵생성 자유 에너지 변화 - **(a) 정육면체 핵의 자유 에너지 변화:** - $\Delta G_T = a^3 \Delta G_v + 6a^2 \gamma$ - $\Delta G_T$: 핵생성을 위한 총 자유 에너지 변화 - $a$: 정육면체 핵의 변 길이 - $\Delta G_v$: 부피당 자유 에너지 변화 - $\gamma$: 표면 자유 에너지 (표면 에너지) - **임계 변 길이 ($a^*$):** $\frac{d(\Delta G_T)}{da} = 3a^2 \Delta G_v + 12a\gamma = 0$ - $a^* = \frac{-4\gamma}{\Delta G_v}$ - **임계 자유 에너지 변화 ($ \Delta G^*$):** $ \Delta G^* = \frac{32\gamma^3}{(-\Delta G_v)^2} $ - **(b) 정육면체 vs 구형:** 구형 핵이 정육면체 핵보다 작은 표면적을 가지므로, 구형 핵이 더 작은 $\Delta G^*$를 필요로 한다. 즉, 구형 핵생성 장벽이 더 낮다. #### 11.3 임계 핵 반경 (Critical Nucleus Radius) - **공식:** $r^* = \frac{-2 \gamma T_m}{\Delta H_f \Delta T}$ - $r^*$: 임계 핵 반경 - $\gamma$: 표면 자유 에너지 (Surface free energy) - $T_m$: 평형 용융 온도 (Equilibrium melting temperature, K) - $\Delta H_f$: 잠열 (Latent heat of fusion, J/m$^3$) - $\Delta T = T_m - T$: 과냉각 정도 (Degree of undercooling, K) #### 11.6 아브라미 방정식 (Avrami Equation) - **공식:** $y = 1 - \exp(-kt^n)$ - $y$: 변태된 분율 (Fraction transformed) - $k$: 속도 상수 (Rate constant) - $t$: 시간 (Time) - $n$: 아브라미 지수 (Avrami exponent, 메커니즘에 따라 달라지는 상수) - **사용법:** 두 가지 시점에서 y와 t 값을 이용하여 $k$와 $n$을 구하거나, $k$와 $n$을 알고 있을 때 특정 변태율에 도달하는 시간을 계산한다. - $n=1.7$, $y=0.5$일 때 $t=100s$로 주어졌을 경우: - $0.5 = 1 - \exp(-k(100)^{1.7})$ $\implies$ $k = -\frac{\ln(0.5)}{(100)^{1.7}}$ - $y=0.99$일 때 시간 $t$ 계산: $0.99 = 1 - \exp(-kt^{1.7})$ $\implies$ $t = \left( -\frac{\ln(0.01)}{k} \right)^{1/1.7}$ #### 11.9 오스테나이트-펄라이트 변태 (Austenite-Pearlite Transformation) - 아브라미 방정식을 이용하여 오스테나이트가 펄라이트로 변태하는 반응 속도를 분석한다. - **주어진 데이터:** - $y=0.2$일 때 $t=12.6s$ - $y=0.8$일 때 $t=28.2s$ - **$k$와 $n$ 계산:** - $0.2 = 1 - \exp(-k(12.6)^n) \implies \ln(0.8) = -k(12.6)^n$ - $0.8 = 1 - \exp(-k(28.2)^n) \implies \ln(0.2) = -k(28.2)^n$ - 두 식을 나누어 $n$을 계산하고, $n$ 값을 다시 대입하여 $k$를 계산한다. - 이 문제에서는 $n \approx 2.453$ 그리고 $k \approx 4.46 \times 10^{-4}$가 계산된다. - **특정 변태율에 도달하는 시간 계산:** - 95% (즉, $y=0.95$) 변태에 필요한 시간: $0.95 = 1 - \exp(-k t^n) \implies t = \left( -\frac{\ln(0.05)}{k} \right)^{1/n}$ #### 11.19 등온 변태 다이어그램 (Isothermal Transformation Diagram, TTT) - **TTT 다이어그램:** 과냉각된 오스테나이트의 상 변태를 시간-온도-변태율로 나타낸 다이어그램. - **미세 구조 제어:** 열처리 경로를 설계하여 다양한 미세 구조를 얻을 수 있다: - **(a) 100% 미세 펄라이트:** A3 온도 이상으로 가열하여 오스테나이트화한 후, 펄라이트 시작선 바로 위에서 등온 유지하여 변태시킨다. 미세 펄라이트는 비교적 낮은 온도에서 형성된다. - **(b) 100% 템퍼드 마르텐사이트:** 오스테나이트화 후 급랭하여 마르텐사이트를 형성한 다음, 템퍼링 온도에서 가열하여 템퍼드 마르텐사이트로 만든다. - **(c) 50% 조대 펄라이트, 25% 베이나이트, 25% 마르텐사이트:** 복잡한 열처리 경로가 필요하다. 1. 오스테나이트화 후, 조대 펄라이트가 형성될 수 있는 높은 온도(하지만 펄라이트 시작선 아래)에서 일정 시간 유지하여 50% 펄라이트를 생성한다. 2. 그 다음, 베이나이트 형성 온도 범위로 급랭하여 25% 베이나이트를 생성한다. 3. 마지막으로 마르텐사이트 형성 시작 온도($M_s$) 이하로 급랭하여 나머지 오스테나이트(25%)를 마르텐사이트로 변태시킨다. #### 11.34 열처리 절차 요약 및 11.2FE 미세구조 경도 순위 - **열처리 절차:** - **구상화 시멘타이트 → 템퍼드 마르텐사이트:** 오스테나이트화(A3 이상 가열) 후 급랭(quenching)하여 마르텐사이트를 얻고, 이를 템퍼링(tempering)한다. - **템퍼드 마르텐사이트 → 펄라이트:** 템퍼드 마르텐사이트를 A1 바로 아래 온도에서 장시간 등온 유지하여 펄라이트로 변태시킨다 (완전 어닐링). - **베이나이트 → 마르텐사이트:** 베이나이트를 마르텐사이트로 변태시키기 위해서는 재오스테나이트화 후 급랭해야 한다. - **마르텐사이트 → 펄라이트:** 마르텐사이트를 재오스테나이트화(A3 이상 가열) 후 서서히 냉각(slow cooling)하면 펄라이트가 형성된다 (완전 어닐링). - **펄라이트 → 템퍼드 마르텐사이트:** 펄라이트를 재오스테나이트화 후 급랭하여 마르텐사이트를 얻고 템퍼링한다. - **템퍼드 마르텐사이트 → 펄라이트:** 템퍼드 마르텐사이트를 재오스테나이트화하여 A1 온도 이하에서 장시간 유지한다. - **베이나이트 → 템퍼드 마르텐사이트:** 베이나이트를 재오스테나이트화 후 급랭하여 마르텐사이트를 얻고 템퍼링한다. - **템퍼드 마르텐사이트 → 구상화 시멘타이트:** 템퍼드 마르텐사이트를 A1 온도 바로 아래에서 장시간 등온 유지하여 구상화 처리한다. - **11.2FE 경도 순위:** - **경도 결정 요인:** 시멘타이트($Fe_3C$)의 양과 분산 형태가 경도를 결정한다. 시멘타이트량이 많고, 미세하게 분산될수록 경도가 높아진다. - **(c) C > D > B > A:** - **C:** 가장 미세한 펄라이트(pearlite)와 시멘타이트($Fe_3C$)를 포함하고 있어 가장 단단하다. - **D:** C보다 시멘타이트 층의 간격이 넓어 경도가 약간 낮다. - **B:** 시멘타이트가 구상화되어 있어 결정들이 둥글고 분산되어 있어 연성이 높고 경도가 낮다. - **A:** 페라이트($\alpha$) 단상(single phase) 또는 매우 적은 양의 시멘타이트를 포함하여 가장 무르다. - 일반적으로 C (미세 펄라이트 또는 마르텐사이트)가 가장 단단하고, A (페라이트 또는 조대 펄라이트)가 가장 무르다. ### 전기적 특성 및 부식 #### 12.1 전기 전도도 ($\sigma$) 및 비저항 ($\rho$) - **옴의 법칙 (Ohm's Law):** $V = IR$ - $V$: 전압 (Voltage, V) - $I$: 전류 (Current, A) - $R$: 저항 (Resistance, $\Omega$) - **저항과 비저항 관계:** $R = \rho \frac{L}{A}$ - $\rho$: 비저항 (Resistivity, $\Omega \cdot m$) - $L$: 길이 (Length, m) - $A$: 단면적 (Cross-sectional area, m$^2$) - **전기 전도도와 비저항 관계:** $\sigma = \frac{1}{\rho}$ - $\sigma$: 전기 전도도 (Electrical conductivity, $(\Omega \cdot m)^{-1}$) - **계산 절차:** 1. 주어진 전압, 전류로 저항 $R$ 계산. 2. 저항 $R$, 길이 $L'$, 단면적 $A$로 비저항 $\rho$ 계산. ($L'$는 전압 측정 구간의 길이) 3. 비저항의 역수로 전기 전도도 $\sigma$ 계산. 4. 전체 길이 $L$를 사용하여 시편 전체의 저항 $R_L = \rho \frac{L}{A}$ 계산. #### 12.12 자유 전자 수 및 전자 이동도 (Electron Mobility) - **자유 전자 수 ($\boldsymbol{n}$):** - $\boldsymbol{n} = \frac{N_A \cdot D \cdot N_e}{A_W}$ - $N_A$: 아보가드로 상수 ($6.022 \times 10^{23}$ atoms/mol) - $D$: 밀도 (Density, g/m$^3$) - $N_e$: 원자당 자유 전자 수 (Number of free electrons per atom) - $A_W$: 원자량 (Atomic weight, g/mol) - **전자 이동도 ($\mu_e$):** - $\sigma = n |e| \mu_e$ - $\sigma$: 전기 전도도 - $n$: 자유 전자 수 - $|e|$: 전자의 전하량 ($1.602 \times 10^{-19}$ C) - $\mu_e$: 전자 이동도 (Electron mobility, m$^2$/(V·s)) #### 12.16 합금의 총 전기 전도도 (Total Electrical Conductivity of Alloy) - **복합 재료의 전도도 (병렬 연결 가정):** - $\sigma_{total} = V_\alpha \sigma_\alpha + V_\epsilon \sigma_\epsilon$ (각 상이 병렬로 연결되어 있다고 가정) - $\sigma_{total}$: 합금의 총 전기 전도도 - $V_\alpha, V_\epsilon$: 각 상의 부피 분율 (Volume fraction) - $\sigma_\alpha, \sigma_\epsilon$: 각 상의 전기 전도도 - **부피 분율 계산:** - 질량 분율($W$)과 밀도($d$)를 사용하여 부피 분율($V$)을 계산한다. - $V_i = \frac{W_i / d_i}{\sum (W_j / d_j)}$ - 주어진 상이 2개($\alpha, \epsilon$)라면: - $W_\alpha + W_\epsilon = 1$ - $V_\epsilon = \frac{W_\epsilon / d_\epsilon}{W_\alpha / d_\alpha + W_\epsilon / d_\epsilon}$ - $V_\alpha = 1 - V_\epsilon$ - **각 상의 전도도:** $\sigma_i = 1/\rho_i$ - $\rho_i$: 각 상의 비저항 #### 16.2 산화-환원 반응 (Oxidation-Reduction Reactions) - **갈바닉 부식 (Galvanic Corrosion):** 두 종류의 금속이 전해질 내에서 접촉할 때, 전기화학적 포텐셜이 낮은(더 반응성이 큰, anode) 금속이 산화(부식)되고 전기화학적 포텐셜이 높은(cathode) 금속은 환원 반응이 일어난다. - **반응성 예측:** - **(a) HCl 용액 (H$^+$ 이온 존재):** - **산화 (Mg):** $Mg \longrightarrow Mg^{2+} + 2e^-$ - **환원 (H$^+$):** $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$ - **(b) HCl + 용존 산소 (O$_2$ 존재):** - **산화 (Mg):** $Mg \longrightarrow Mg^{2+} + 2e^-$ - **환원 (H$^+$):** $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$ - **환원 (O$_2$):** $O_2 + 4H^+ + 4e^- \longrightarrow 2H_2O$ - **(c) HCl + 용존 산소 + Fe$^{2+}$ 이온:** - **산화 (Mg):** $Mg \longrightarrow Mg^{2+} + 2e^-$ - **환원 (H$^+$):** $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$ - **환원 (O$_2$):** $O_2 + 4H^+ + 4e^- \longrightarrow 2H_2O$ - **환원 (Fe$^{2+}$):** $Fe^{2+} + 2e^- \longrightarrow Fe$ - **가장 빠른 부식:** 용존 산소($O_2$)와 Fe$^{2+}$ 이온이 모두 존재하는 (c)의 경우가 가장 빠르게 부식될 가능성이 높다. 이는 여러 환원 반응이 동시에 진행될 수 있어 Mg의 산화를 가속화하기 때문이며, 특히 Fe 석출은 "음극 활성화(cathodic activation)" 효과로 부식을 촉진할 수 있다. #### 16.6 네른스트 방정식 (Nernst Equation) - **공식:** $E = E^0 - \frac{RT}{nF} \ln Q$ 또는 $E = E^0 - \frac{0.0592 \text{V}}{n} \log_{10} Q$ (25°C의 경우) - $E$: 전지 전위 (Cell potential) - $E^0$: 표준 전지 전위 (Standard cell potential) - $R$: 기체 상수 (Gas constant) - $T$: 온도 (Temperature, K) - $n$: 이동하는 전자 수 - $F$: 패러데이 상수 (Faraday constant) - $Q$: 반응 지수 (Reaction quotient) - **전극 반응:** - $Pb \longrightarrow Pb^{2+} + 2e^-$ ($\boldsymbol{E_{Pb}^0 = -0.126 \text{V}}$) - $Cu^{2+} + 2e^- \longrightarrow Cu$ ($\boldsymbol{E_{Cu}^0 = +0.340 \text{V}}$) - **표준 전지 전위:** $E^0 = E^0_{cathode} - E^0_{anode} = E^0_{Cu} - E^0_{Pb}$ - **농도 계산:** 주어진 전지 전위, 표준 전위, 그리고 한 이온의 농도를 이용하여 다른 이온의 농도를 계산한다. - $Q = \frac{[Pb^{2+}]}{[Cu^{2+}]}$ (여기서 $Pb$가 산화되고 $Cu$가 환원되므로) #### 16.8 갈바닉 계열 (Galvanic Series) - **갈바닉 계열:** 서로 다른 금속이나 합금이 전해질 내에서 접촉할 때, 어떤 금속이 음극(cathode)이 되고 어떤 금속이 양극(anode)이 되어 부식될 것인지를 예측하는 데 사용되는 표이다. - **부식 예측:** - **높은(더 양극성) 금속:** 부동태화되어 부식 저항성이 높다 (cathode). - **낮은(더 음극성) 금속:** 활성적이어서 부식될 가능성이 높다 (anode). - **예시 순위 (가장 음극성/활성에서 가장 양극성/비활성):** - 마그네슘 > 아연 > 알루미늄 > 강철 (주철, 저탄소강) > 구리 (황동) > 니켈 (모넬) > 티타늄 (스테인리스강 304/316) - **부식 여부 및 부식되는 금속:** - **(a) 알루미늄 vs. 마그네슘:** 마그네슘이 부식된다. - **(b) 아연 vs. 저탄소강:** 아연이 부식된다. - **(c) 황동 (60 wt% Cu-40 wt% Zn) vs. 모넬 (70 wt% Ni-30 wt% Cu):** 황동이 부식된다. - **(d) 티타늄 vs. 304 스테인리스강:** 티타늄과 304 스테인리스강은 갈바닉 계열에서 서로 가까이 있어 부식이 거의 일어나지 않는다 (또는 주변 환경에 따라 달라짐). - **(e) 주철 vs. 316 스테인리스강:** 주철이 부식된다.